初中數學的對稱美與應用

張延杰

摘 要：對稱，物體或圖形在某種變換條件（例如繞直線的旋轉、對于平面的反映，等等）下，其相同部分間有規律重復的現象，亦即在一定變換條件下的不變現象。在初中數學的幾何知識中，主要有軸對稱與中心對稱，如果運用得好，解題有事半功倍的效果。像窗花一樣，把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，稱這兩個圖形軸對稱，這條直線叫做對稱軸，兩個圖形中的對應點叫做對稱點。

關鍵詞：初中數學；對稱美；教育

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）07-386-02

把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。

在幾何證題、解題時，如果是軸對稱圖形，則經常要添設對稱軸以便充分利用軸對稱圖形的性質.譬如，等腰三角形經常添設頂角平分線；矩形和等腰梯形問題經常添設對邊中點連線和兩底中點連線；正方形，菱形問題經常添設對角線等等.

一、軸對稱

像窗花一樣，把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，稱這兩個圖形軸對稱，這條直線叫做對稱軸，兩個圖形中的對應點叫做對稱點。

把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。

在幾何證題、解題時，如果是軸對稱圖形，則經常要添設對稱軸以便充分利用軸對稱圖形的性質.譬如，等腰三角形經常添設頂角平分線；矩形和等腰梯形問題經常添設對邊中點連線和兩底中點連線；正方形，菱形問題經常添設對角線等等.

另外，如果遇到的圖形不是軸對稱圖形，則常選擇某直線為對稱軸，補添為軸對稱圖形，或將軸一側的圖形通過翻折反射到另一側，以實現條件的相對集中.

例1，要在河邊l修建一個水泵站，分別向A、B兩村送水，水泵站應修建在河邊的什么地方，可使所用的水管最短？

分析：要解決這個問題，找出點A關于直線l的對稱點 ，連結 交直線 于點P，則點P就是到A、B兩村莊的距離之和最短的點的位置。

由此可見，軸對稱幫我們找到了符合要求的點的位置。

該問題的解決為我們提供了一種解題的思路和線索，觸類旁通。

例2、實驗探究：

下面設想用電腦模擬臺球游戲，為簡單起見，約定：

①每個球或球袋都視為一點，如不遇障礙，各球均沿直線前進；

②A球擊中B球，意味著B球在A球前進的路線上，且B球被撞擊后沿著A球原來的方向前進；

③球撞擊桌邊后的反彈角等于入射角，如圖2，設桌面上只剩下白球A和6號球B，希望A球撞擊桌邊上C點后反彈，再擊中B球。

（1）給出一個算法（在電腦程序設計中把解決問題的方法稱為算法），告知電腦怎樣找到點C，并求出C點坐標；

（2）設桌邊RQ上有一球袋S（100，120），給出一個算法，判定6號球被從C點反彈出的白球撞擊后，能否落入球袋S中（假定6號球被撞擊后的速度足夠大）。

解：（1）作A點關于x軸的對稱點 ，連接

因為球撞擊桌邊后的反彈角等于入射角

則 與x軸的交點即為電腦所要找的C點

（2）因S（100，120）滿足直線 的解析式 ，因此，可判定6號球被從C點反彈出的白球撞擊后，能落入球袋S中。

二、中心對稱

中心對稱是指兩個圖形繞某一點旋轉180°后，能夠完全重合，這兩個圖形關于該點對稱，該點稱為對稱中心。二者相輔相成，兩圖形成中心對稱，必有對稱中點，而點只有能使兩個圖形旋轉180°后完全重合才稱為對稱中點。

把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果它能與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形的對應點叫做關于中心的對稱點。

中心對稱廣泛存在于幾何問題中，巧妙利用好中心對稱原理，可使我們在解決問題時多一條有效途徑，常能起到化繁為簡，出奇制勝的效果。。

例3：如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若將矩形折疊，使C點和A點重合，求折痕EF的長.

分析：將矩形折疊，使C點和A點重合，折痕為EF，就是A、C兩點關于O點對稱，這方面的知識在解決一些翻折問題中起關鍵作用，對稱點連線被對稱軸垂直平分，進而轉化為中垂線性質和勾股定理的應用，求線段長度或面積.

用到的知識點：中心對稱是指兩個圖形繞某一點旋轉180°后，能夠完全重合，這兩個圖形關于該點對稱，該點稱為對稱中心。二者相輔相成，兩圖形成中心對稱，必有對稱中點，而點只有能使兩個圖形旋轉180°后完全重合才稱為對稱中點。