高中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的核心內(nèi)容群：函數(shù)
——基于核心內(nèi)容群內(nèi)涵、特征及其數(shù)學(xué)本質(zhì)的解析

朱立明，韓繼偉

（1.東北師范大學(xué)教育學(xué)部，吉林 長春 130024；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長春 130024）

高中數(shù)學(xué)內(nèi)容作為數(shù)學(xué)內(nèi)容的下位概念，一方面應(yīng)該具備數(shù)學(xué)內(nèi)容的共同屬性，另一方面又具有反映自身的特殊性。基于“核心”和高中數(shù)學(xué)內(nèi)容兩方面因素，我們提出高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的概念，這里面涵括的不僅僅是知識點(diǎn)，還綜合數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和思想方法的內(nèi)容體系。所謂高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群即在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容體系中，能夠聯(lián)結(jié)不同模塊或?qū)ｎ}之間的數(shù)學(xué)內(nèi)容并為其提供持續(xù)性支持且具有奠基作用的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法。

一、高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的特征

（一）高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的基礎(chǔ)性特征

高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的基礎(chǔ)性特征主要是取決于數(shù)學(xué)的抽象性特點(diǎn)。由于“數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們相互關(guān)系的圈子之中”[1]，所以從某種程度上講，數(shù)學(xué)的抽象性在加強(qiáng)數(shù)學(xué)深度的同時也增添了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，因此數(shù)學(xué)內(nèi)容在滿足循序漸進(jìn)特點(diǎn)的同時，必然有一部分內(nèi)容是基礎(chǔ)的，為后續(xù)學(xué)習(xí)起到奠基作用。高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群作為數(shù)學(xué)本源內(nèi)容，不僅體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)知識的發(fā)展或數(shù)學(xué)領(lǐng)域重大變革具有一定的促進(jìn)作用，也體現(xiàn)在為高中數(shù)學(xué)的初學(xué)者在不同時期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，因此彰顯了高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的基礎(chǔ)性特征。

（二）高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的聯(lián)結(jié)性特征

高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的聯(lián)結(jié)性特征是由核心的范圍層面決定的。由于數(shù)學(xué)本身經(jīng)過漫長的歷史發(fā)展，現(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)是一個分支眾多的知識系統(tǒng)，孤立的數(shù)學(xué)內(nèi)容是不存在的，高中數(shù)學(xué)內(nèi)容作為整個數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的縮影，眾多數(shù)學(xué)模塊或者專題按照一定的學(xué)科邏輯順序和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)順序進(jìn)行有效組織，高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群以本源內(nèi)容的形式，或者以數(shù)學(xué)內(nèi)容主線的形式，與高中其他數(shù)學(xué)內(nèi)容具有知識結(jié)構(gòu)上的橫向聯(lián)系，貫穿整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，具有聯(lián)結(jié)性特征。

（三）高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的持續(xù)性特征

高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的持續(xù)性特征主要體現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)不同模塊或者專題所對應(yīng)的相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容采用螺旋上升的組織形式，漸次加強(qiáng)所學(xué)概念和觀念的深度和復(fù)雜程度，使高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群與學(xué)生內(nèi)部心理發(fā)展過程融合起來，為不同時期對其他高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供動態(tài)支持，這種支持不僅包括數(shù)學(xué)概念、定理和公式等人們在長期數(shù)學(xué)活動中形成的間接經(jīng)驗(yàn)，還包括學(xué)習(xí)者通過自身的觀察、操作、比較、分析、歸納、概括等活動而獲得的直接經(jīng)驗(yàn)。無論是在數(shù)學(xué)知識的生成過程，還是數(shù)學(xué)的最終結(jié)果的獲得，高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群自始至終體現(xiàn)著持續(xù)性特征。

（四）高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的思想性特征

數(shù)學(xué)思想來源于數(shù)學(xué)知識本身，又高于數(shù)學(xué)知識本身，是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識是共生的個體，不可分割。沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想，也沒有不蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)知識，在此基礎(chǔ)上，史寧中教授從數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的角度，將數(shù)學(xué)思想概括為抽象、推理、模型。而在高中數(shù)學(xué)中所涉及的數(shù)學(xué)思想更加具體化、多元化，主要包括：函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、符號化思想、算法思想、幾何思想、隨機(jī)思想等，所以高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群具有思想性特征。

二、高中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域核心內(nèi)容群——函數(shù)：數(shù)學(xué)本質(zhì)解析

（一）從數(shù)學(xué)發(fā)展的視角看函數(shù)的變遷

1.函數(shù)與變量

在17世紀(jì)，函數(shù)概念未明確提出之前一直被當(dāng)作曲線研究，因此函數(shù)概念最早源于人們對動點(diǎn)軌跡的探索，1673年，萊布尼茲（Leibniz）在手稿中最早使用函數(shù)（function）一詞來表示任何一個隨著曲線上的點(diǎn)的變動而變動的量，1714年，萊布尼茲在著作《歷史》中用函數(shù)一詞來表示依賴于一個變量的量[2]。1718年，約翰·伯努利（John Bernoulli）將函數(shù)定義為由一個變量x與常量構(gòu)成的任意表達(dá)式[3]。1748年，歐拉（L.Euler）在《無窮小分析引論》中推廣了約翰·伯努利的函數(shù)定義，認(rèn)為一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何一種方式構(gòu)成的解析表達(dá)式[4]；1755年，歐拉在他的《微分學(xué)原理》的序言中又將函數(shù)重新定義為，如果某些量以這樣的方式依賴于另一些量，即當(dāng)后面這些量變化時，前面這些變量也隨之變化，則將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)[5]；歐拉用“解析表達(dá)式”代替了約翰·伯努利的“任意表達(dá)式”，增強(qiáng)了函數(shù)概念的嚴(yán)密性，同時指明了哪個變量是哪個變量的函數(shù)。隨著函數(shù)概念的大量采用，微積分開始走上了形式化與代數(shù)化的道路。

2.函數(shù)與對應(yīng)

1823年，柯西（Cauchy）對函數(shù)的解析表達(dá)式做了較少地限制，而著重從變量的對應(yīng)關(guān)系來定義函數(shù)，即若對x的每一個值，都有完全確定的y值與之對應(yīng)，x與y的函數(shù)關(guān)系的解析式表示方式并不唯一，則稱y是x的函數(shù)，并將x稱為自變量。[6]我們知道，函數(shù)能否用解析式表示出來的意義并不大，狄利克萊函數(shù)的出現(xiàn)更是對函數(shù)解析式提出巨大挑戰(zhàn)，因此，1837年，狄利克萊（Dirichlet）將這一限制去掉，認(rèn)為函數(shù)在整個區(qū)間上y是否按照一種或多種規(guī)律依賴于x，或者y依賴于x是否可用數(shù)學(xué)運(yùn)算來表達(dá)，那都是無關(guān)緊要的。[7]19世紀(jì)70年代，康托（Cantor）建立集合論后，維布倫（O.Veblen）用集合與對應(yīng)給出近代函數(shù)的定義，若在變量y的集合與另一變量x的集合之間，有這樣的關(guān)系成立，即對x的每一個值，有完全確定的y值與之對應(yīng)，則稱變量y是變量x的函數(shù)。這是函數(shù)在廣泛意義上的定義，與高中數(shù)學(xué)函數(shù)的概念本質(zhì)一樣。[8]

3.函數(shù)與關(guān)系

雖然狄利克萊等人通過對應(yīng)定義函數(shù)擺脫了解析式的制約，但并沒有對什么是對應(yīng)做出嚴(yán)格的說明，因此在高中數(shù)學(xué)函數(shù)定義中也沒有說明到底什么是對應(yīng)法則。數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性，所以，在1939年，布爾巴基（Nicolas Bourbaki）學(xué)派將函數(shù)概念建立在關(guān)系基礎(chǔ)之上，重新給出函數(shù)定義[9]：設(shè)集合X、Y，定義X與Y的積集X×Y如下：X×Y={(x，y)|x∈X，y∈Y}。積集X×Y中的任一子集R稱為X與Y的一個關(guān)系，若(x，y)∈R，則稱x與y有關(guān)系R，記為xRy,若(x，y)不屬于R，則稱x與y無關(guān)系R。現(xiàn)設(shè)f是x與y的關(guān)系，即f包含于X×Y，如果(x，y)、(x，z)∈f，必有y=z，那么稱f為X到Y(jié)的映射或函數(shù)。

從函數(shù)發(fā)展來看，函數(shù)概念的歷史映射了整個數(shù)學(xué)的發(fā)展史，成為推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力，體現(xiàn)了函數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展中的基礎(chǔ)性作用。

（二）從高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的視角看函數(shù)的地位

20世紀(jì)初，在英國數(shù)學(xué)家貝利（J.Perry）和德國數(shù)學(xué)家克萊因（Klein）等人的大力倡導(dǎo)和推動下，函數(shù)進(jìn)入了中學(xué)數(shù)學(xué)。克萊因認(rèn)為：“函數(shù)概念，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學(xué)教材集中在它周圍，進(jìn)行充分地綜合。”函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線之一，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程，如圖1所示。

響應(yīng)新課改的理念，加大對實(shí)訓(xùn)模擬室的資金投入，建立符合國家標(biāo)準(zhǔn)的會計(jì)實(shí)訓(xùn)模擬室。首先，各類設(shè)施配置要齊全，要不斷改善實(shí)訓(xùn)室的教學(xué)環(huán)境，確保在企業(yè)財(cái)務(wù)部門能進(jìn)行的會計(jì)操作在實(shí)訓(xùn)模擬室中也同樣能操作。其次，擴(kuò)大實(shí)訓(xùn)模擬室的空間，使每一位學(xué)生都能進(jìn)行實(shí)際動手操作。

1.函數(shù)符合基礎(chǔ)性特征

函數(shù)能夠成為高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是因?yàn)樽償?shù)的概念，字母表示數(shù)的出現(xiàn)，是人們思維方式更新的標(biāo)志，意味著代數(shù)學(xué)的開始，從理論上講，代數(shù)是字母的算術(shù)，代數(shù)思維的本質(zhì)就是關(guān)系思維，其目的是發(fā)現(xiàn)具有一般化的關(guān)系、普遍化的結(jié)構(gòu)。[10]正如恩格斯在《自然辯證法》一書中所說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了。”函數(shù)是一種變數(shù)思維，而變數(shù)對數(shù)學(xué)而言是一種重要的思想與轉(zhuǎn)折，為整個高中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)做了鋪墊，是初學(xué)者在高中數(shù)學(xué)不同時期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

2.函數(shù)符合聯(lián)結(jié)性特征

函數(shù)的聯(lián)結(jié)性特征主要體現(xiàn)在函數(shù)與方程、不等式、算法、微積分等高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的橫向聯(lián)系上。從歷史發(fā)展來看，函數(shù)屬于代數(shù)領(lǐng)域，方程屬于算術(shù)領(lǐng)域，函數(shù)中的字母是變量，可以取得不同數(shù)值，方程中的字母是常量，是未知但確定的數(shù)值，因此變量是函數(shù)的基礎(chǔ)，未知數(shù)是方程的基礎(chǔ)。從形式上來看，在函數(shù)y=f（x）中，當(dāng)y=0時，即可轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，但兩者在本質(zhì)上是不同的，函數(shù)的本質(zhì)是描述一件事情的變化規(guī)律，而方程的本質(zhì)是兩件事情的等價性。從特殊取值來看，函數(shù)的零點(diǎn)便是函數(shù)對應(yīng)方程的根。在高中階段，通過數(shù)形結(jié)合，利用二次函數(shù)的圖像進(jìn)行一元二次不等式求解，使問題清晰簡潔。反過來，當(dāng)我們對函數(shù)定義域、函數(shù)單調(diào)區(qū)間等求解時，便轉(zhuǎn)化為求不等式（一元二次不等式、分式不等式、指數(shù)不等式、對數(shù)不等式）的解集；算法中循環(huán)變量依賴變量的取值決定循環(huán)體的“開始”與“結(jié)束”，是刻畫循環(huán)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵，體現(xiàn)著函數(shù)的思想；高中階段的微積分重點(diǎn)體現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)與牛頓—萊布尼茲公式的應(yīng)用，函數(shù)是對運(yùn)動變化的動態(tài)描述，而導(dǎo)數(shù)是對事物變化快慢的描述，因此，我們說函數(shù)并不是孤立存在于高中數(shù)學(xué)中的，函數(shù)與其他內(nèi)容所形成的網(wǎng)狀聯(lián)系體現(xiàn)了核心內(nèi)容群的聯(lián)結(jié)性特征。

3.函數(shù)符合持續(xù)性特征

函數(shù)的持續(xù)性特征主要體現(xiàn)在整個高中數(shù)學(xué)模塊1、模塊4、模塊5、專題2中反復(fù)感悟、螺旋上升學(xué)習(xí)函數(shù)的縱向聯(lián)系。從高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的組織來看，函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)課程的一條主線，貫穿整個高中數(shù)學(xué)課程。高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念以集合作為基礎(chǔ)，因此必修1的第一章是集合論的相關(guān)知識，從第二章開始接觸函數(shù)，其中包含了函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）、基本初等函數(shù)Ⅰ（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）、分段函數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)；必修4中基本初等函數(shù)Ⅱ（三角函數(shù)）、函數(shù)的基本性質(zhì)（周期性）；必修5中特殊的離散型函數(shù)（數(shù)列），選修系列2中隨機(jī)變量的本質(zhì)也是函數(shù)，是樣本空間到實(shí)數(shù)域上的特殊函數(shù)。因此我們可以從教材螺旋上升的編排順序看出來，函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中是持續(xù)的、貫穿始終的，函數(shù)體現(xiàn)了核心內(nèi)容群的持續(xù)性特征。

圖1 高中數(shù)學(xué)函數(shù)內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖

4.函數(shù)符合思想性特征

函數(shù)思想是高中階段最基礎(chǔ)最重要的數(shù)學(xué)思想之一，集中體現(xiàn)為一種對應(yīng)的思想，函數(shù)思想的本質(zhì)是利用動態(tài)的變化和集合的對應(yīng)研究問題中的數(shù)量關(guān)系。除此之外，函數(shù)中還蘊(yùn)含著其他數(shù)學(xué)思想，例如：函數(shù)表示方法中的解析法與圖像法是“數(shù)”的精確與“形”的直觀完美結(jié)合，解析法能夠清晰地表示函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，圖像法可以直觀地表達(dá)函數(shù)的變化趨勢，體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合思想；在我們研究指數(shù)函數(shù)f（x）=ax的單調(diào)性時，往往需要注意底數(shù)a的取值范圍，當(dāng)a＞1時，f（x）=ax在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)0＜a＜1時，f（x）=ax在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，這里蘊(yùn)含著分類討論的思想，分類討論思想的本質(zhì)在于分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇，而這里分類的標(biāo)準(zhǔn)就是a＞1與0＜a＜1；我們利用正弦函數(shù)y=sinx研究余弦函數(shù)y=cosx的性質(zhì)，這是類比思想；我們在講函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式時，體現(xiàn)著化歸思想。可見，在函數(shù)中不乏數(shù)學(xué)思想，函數(shù)體現(xiàn)了核心內(nèi)容群的思想性特征。

（三）從綜合與實(shí)踐的視角看函數(shù)模型的應(yīng)用

從F.克萊因呼吁重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，到弗萊登塔爾推動現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育，我國也逐漸意識到運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決簡單的現(xiàn)實(shí)問題能力的重要性，而對于高中函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用則集中體現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模上，其中蘊(yùn)含了函數(shù)模型的數(shù)學(xué)思想。在高中階段，所謂函數(shù)模型，是指用函數(shù)知識對生活中普遍存在的簡單的最值問題（利潤最高、成本最低、效益最好、用料最省）進(jìn)行歸納加工，建立適切的目標(biāo)函數(shù)，從而從函數(shù)的角度解決實(shí)際問題。函數(shù)模型的構(gòu)造有助于學(xué)生對函數(shù)本身的理解，加強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。[11]

利用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)問題，這與課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)聯(lián)系生活是一致的，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高其實(shí)踐能力，課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實(shí)際問題的過程”。（函數(shù)模型解決真實(shí)問題具體過程如圖2所示）

圖2 函數(shù)模型解決真實(shí)問題圖示

三、結(jié)束語

我們從數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展、高中課程標(biāo)準(zhǔn)、綜合與實(shí)踐三個視角可以看出，函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一條主線，具有強(qiáng)大的生命力，我國高中數(shù)學(xué)教材非常注重函數(shù)的地位與作用，建立了以函數(shù)為核心的輻射狀知識結(jié)構(gòu)，這一知識結(jié)構(gòu)使函數(shù)具有基礎(chǔ)性、持續(xù)性、聯(lián)結(jié)性、思想性的特征，成為學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個核心內(nèi)容群。▲

[1]亞歷山大洛夫A D，等.數(shù)學(xué)它的內(nèi)容、方法和意義[M].孫小禮，趙孟養(yǎng)，裘光明，等，譯.北京：科學(xué)出版社，1986：6.

[2]克萊因M.古今數(shù)學(xué)思想：第3冊[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1979：122-126.

[3]邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2014：163.

[4]歐拉.無窮分析引論(上）（下)[M].太原：山西教育出版社，1997：1-6.

[5]Dieter Ruthing.函數(shù)概念的一些定義——從John Bernoulli到N.Bourbaki[J].數(shù)學(xué)譯林，1986（3）.

[6]杜石然.函數(shù)概念的歷史發(fā)展[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1961（6）：36-39.

[7]吉特爾曼A.數(shù)學(xué)史[M].北京：科學(xué)普及出版社，1987：265.

[8]王嶸，章建躍，宋莉莉，周丹.高中數(shù)學(xué)核心概念教材編寫的國際比較——以函數(shù)為例[J].課程·教材·教法，2013（6）：51-56.

[9]賈隨軍.函數(shù)概念的演變及其對高中函數(shù)教學(xué)的啟示[J].課程·教材·教法，2008（7）：49-72.

[10]徐文彬，楊玉東.“本原性問題”及其在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005（8）：14-16.

[11]張立紅，代欽.高中函數(shù)模型及其應(yīng)用的教學(xué)策略[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)：教育科學(xué)版，2011（12）：116-118.