高等數學中的哲學思想及其在獨立學院教學中的應用

魏玲　段綿俊　吳志斌

[摘 要]高等數學中蘊含著豐富而深奧的哲學思想，如有限與無限、量變與質變、特殊與一般等。針對獨立學院的培養目標和學生的特點，教學中除了從數學的角度講清楚基本的知識和方法，還需要從哲學的角度進行適度的辯證與剖析，使學生深刻理解其實質，把握其精髓，增強學生運用數學思維及數學方法分析問題和解決問題的能力。

[關鍵詞]高等數學 哲學思想 獨立學院 教學

[中圖分類號] G255.75 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2015）09-0133-02

馬克思主義哲學是科學的世界觀和方法論的統一，是研究自然科學的理論基礎，它為人們的實踐活動提供了具有普遍意義的工作方法和思維方法。高等數學蘊含著豐富而深奧的哲學思想，如：高等數學中的有限與無限之間的關系、量變與質變的關系、特殊與一般的關系等。辯證唯物主義思想所認為的事物之間對立統一的關系在高等數學的各個部分都有體現。

由于獨立學院的辦學宗旨是培養本科應用型創新人才，且生源質量不同于一本、二本，學生的學習情況總體表現較差，主要表現在學生知識的系統性較差，偏科的現象較嚴重，對部分科目，尤其是數學，有比較明顯的抵觸情緒。所以獨立學院高等數學這門課的教學必須根據學校的培養目標和學生的實際學習能力進行改革，建立“學術性、研究型”的精英教育模式，課堂教學應以“適用、實用”為原則，明確學生的知識結構側重通識而非精深，專業素養側重適用而非前沿，課堂教學側重實用而非理論證明。對于高等數學這門課程的教學，如果我們能夠重視學生數學思想的培養，將哲學思想融入教學中，不但能夠培養學生的數學學習興趣，提高學習效率，而且能夠加強學生的辯證思維，提高學生解決實際問題的能力。

一、教學中的有限與無限、量變與質變的思想及應用

從哲學上看，有限和無限是一對矛盾的統一體，二者既聯系又對立。無限是有限的發展，無限是由有限組成的。從量變與質變的角度來看，有限的變化實際上是一個量變的過程，是質變的必要準備。當變化無限發展，量變超出了度的范圍，于是就引起質的變化，所以質變是量變的必然結果。

高等數學與初等數學的顯著區別在于引入了極限的概念。極限是一種研究變量變化趨勢的數學思想，它是變量無限地向有限目標的逼近而產生量變到質變的轉化。極限的思想貫穿于高等數學的始終，說明有限與無限、量變與質變的哲學思想也貫穿于高等數學的始終，所以數學的本質其實就是哲學。

【例1】級數收斂的定義（有限與無限）。

我們知道，直接研究無窮多項的和是非常困難的，所以在上述定義中，我們先求出有限的前n項和，再通過讓n→∞求極限，最后得到無窮多項的和的情況。

根據有限與無限的對立統一關系，人們可以從有限認識無限，從已知認識未知。這些抽象的哲學辯證觀念，都可以從科學概念中提升，并用科學概念具體解釋，以達到洞察事物本質的目的。

【例2】數列的極限（量變與質變）。

高等數學中充滿了從量變到質變，而后又從質變引起新的量變的思想。質量互變的思想對學習方法的指導具有很重要的現實意義。學生學習首先要有量的積累，才會有質的飛躍。獨立學院學生的基礎相對薄弱，接受能力也比較慢，所以做練習在獨立學院高等數學課程的教學中是一個相當重要的環節。教師需要引導學生在不斷的練習中歸納總結，從而幫助學生改善學習效果。

二、教學中具體與抽象、特殊與一般的思想及其應用

數學是一門認識世界數量關系和組合形式及方法的科學。然而我們面對的世界是一個復雜的世界，具體性與抽象性、普遍性與特殊性、個性與共性同時存在。在高等數學的教學過程中，我們不難發現，很多概念與原理的發展都是通過對特殊例子的詳細分析，形成一定的抽象，從而得出相關的數學概念和運算公式。

【例3】高階導數公式的推導（特殊到一般）。

在認識世界的過程中，我們解決問題的常用方式一般是由淺入深、由易到難。獨立學院高等數學的教學過程中，教師應該特別注意在課堂上引導學生學會將抽象的概念具體化，將復雜的運算公式簡單化，幫助學生掌握規律，使學生較為容易地理解所學的數學概念和運算公式，從而達到增強學習興趣的目的。

三、教學中對立統一的思想及其應用

對立統一是矛盾的兩個根本屬性，人類社會的萬事萬物，無一不是以矛盾的統一體的形式存在。微積分定量地反映了事物的對立統一規律，如有限與無限、質變與量變、直線與曲線、常量與變量、連續與間斷、平均與邊際、無窮小與無窮大、運算與逆運算等，這些規律都反映了事物的普遍聯系。

【例4】以直代曲。

在講授《函數的微分及其應用》這部分內容時，我們會得到一個近似關系式：f（x）≈f（x0）+f ′（x0）（x-x0），（x-x0充分小），式子的左邊是曲線，右邊是直線。

一條曲線從很小的局部來看是近似于直線的，而且越小的部分越是近似直線。曲與直是對立的，但微積分抓住了它們的聯系，實現了二者的統一。這就是“無限細分，以直代曲”的思想。

【例5】微積分基本公式。

微積分里兩個最重要的、靈魂的概念——導數與積分體現的就是矛盾的對立統一。導數與積分是兩個對立的概念。導數的本質是變化率，所以它是一個瞬間量；而積分的本質是無限累加，故它是一個總量。而且從運算上來看，兩者也是互逆的。但是這兩個概念卻經微積分基本公式而產生了必然的聯系。微積分基本公式又叫做牛頓-萊布尼茲公式，是瞬間量與總量的對立統一。

求導和求積分是高等數學中兩個非常重要的運算。從微積分基本公式的教學過程中來看，求導是求積分的基礎，我們正是利用導數和積分互為逆運算的關系，利用兩者的對立統一關系來解決定積分的計算問題。所以，教師在講授微分學部分的知識時，要特別注意向學生強調求導公式的重要性，要求學生熟練、記憶公式，從而為積分學部分的學習打好基礎。

四、教學中因果關系的思想及其應用

原因和結果是揭示客觀世界中普遍聯系著的事物具有先后相繼、彼此制約的一對范疇。原因是指引一定現象的現象，結果是指由原因的作用而引起的現象。高等數學課程的教學過程中，很多題目都需要教師引導學生分析問題的因果，由果溯因，由因及果，從而找到解決問題的辦法。

【例6】“微分方程”部分的一道典型例題：

第一步：由果溯因。很多學生看到這樣的題目會束手無策，因為題目中有個“死循環”：我們必須求出右端的積分才能得到？漬（x）的表達式，而積分式的被積函數中又包含未知函數？漬（u）。所以想通過求積分式得到？漬（x）的表達式顯然是行不通的。這是結果。我們要引導學生分析導致這個結果的原因是什么。學生很快就會發現，是因為右端積分式根本求不出來。那么我們就要避免求積分，或者說，要去掉積分號。

第二步：由因及果。找到問題的原因之后，我們接下來要尋求問題的結果。求導和求積分是互逆的，所以我們可以通過求導的方法去掉右端的積分號，注意到？漬（x）的連續性保證了右端積分式的可導性，從而也就保證了？漬（x）的可導性。兩端同時對x求導：？漬′（x）=ex-x？漬（x），并且令題目中的x=0，可得？漬（0）=1。到這一步，學生就會發現，這其實就是大家非常熟悉的帶初值的一階線性微分方程，直接求解就可以了。從整道題的分析過程來看，哲學中因果關系的思想給了我們很大的幫助。當學生發現原來哲學思想也可以用來解決數學問題，我們的課堂就會變得生動有趣。

總之，數學的本質是哲學。在高等數學教學中，教師應當充分展現和運用這些哲學思想，使之成為一種培養學生數學素養的有效方法。

[責任編輯：鐘偉芳]