分析法在剛體動力學問題中的應用

鄭文珍

[摘 要]剛體動力學問題的求解是大學物理教學中的重點及難點。以原始公式為基礎，采用由整體到局部的分析法，按照一定的邏輯思維順序鏈式分析、推演，環環相扣，直到待求物理量全部用已知量表示為止，較好地解決教學難點，并以兩個典型問題進行了示例。

[關鍵詞]分析法 剛體動力學 應用 示例

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2015）09-0121-02

剛體動力學的求解問題，一直是大學物理教學中的重點[1]，也始終是大學生最感困惑的難點。如何解決好這一問題，保證對重點內容的理解與掌握，突破大學理工科低年級學生普遍存在的會聽不會做的困擾？筆者在近幾年的大學物理教學中積累了一些經驗，即針對大學理工科低年級學生這一教學對象，以分析法為主，緊緊抓住牛頓運動定律這條主線，突出轉動定律在剛體動力學問題中的核心地位，精選內容，通過典型實例剖析學生在求解這類問題時出現的錯誤，正反對比，舉一反三，收到了好的效果。

所謂分析法，就是從整體到局部的邏輯思維方法，是把一個大的物理問題化整為零，各個擊破，逐步引向待求物理量的思考方法。具體地說，就是在認真審題、分析題意的基礎上，首先找出能直接回答待求物理量的物理規律及其公式，我們稱之為原始公式。原始公式一般都是重要而基本的物理公式。正確地找出了原始公式，就有了正確的大前提。觀察原始公式中包含哪些未知量，確定小前提，再列出表達這些未知量的物理方程。如果這些方程中仍然含有新的物理量，就再列出相應的表達式，這樣按照一定的邏輯思維順序鏈式分析、推演，環環相扣，直到待求物理量全部用已知量表達為止。對原始公式逐步分析、推演的過程，就是邏輯思維過程，是一個對物理內容再加工的過程，也就是逐步引向待求物理量的解決過程，經過這樣的分析處理，復雜的動力學問題往往都能得到正確的解答。下面舉兩個實例具體說明。

例1 如圖1，有一質量均勻分布的剛性圓柱體，用一水平外力F作用于圓柱體的上半部，使它在水平面上作無滑滾動[2]。F距圓心距離為a，問此時圓柱體所受靜摩擦力方向如何？

講評：初看此題，似乎極易回答。因而不少學生未做正確的分析與推理，便想當然地得出結論。常見答案有以下三種：第一種，因外力F水平向右，使整個圓柱體有向右運動的趨勢，故圓柱體與地面的接觸點A所受的靜摩擦力水平向左；第二種，因外力F不通過圓柱體質心，故F對質心的力矩不為零，這個力矩使圓柱體沿順時針方向轉動，故接觸點A相對于地面有向左運動的趨勢，因而靜摩擦力水平向右；第三種，因圓柱體作純滾動，A點相對于地面的速度為零，無滑動趨勢，故靜摩擦力為零。

分析：以上三種解答都具有片面性，缺乏整體考慮。實際上水平外力F的作用效果有兩個：一是使圓柱體有向右平動的趨勢，二是使圓柱體有以過A點的直線為瞬軸沿順時針方向轉動的趨勢。兩種趨勢并存，關鍵是要看哪種趨勢占優勢，才能確定摩擦力的取向。

再分析：外力F作用于圓柱體不同位置，產生不同的力矩，因而產生的角加速度不同。可能是平動趨勢大于轉動趨勢，也可能是轉動趨勢大于平動趨勢，亦或二者相抵消。這只能通過定量計算才能判別。為此需列出圓柱體的動力學方程求解。由題可確定剛體對質心軸的轉動定律為原始公式。

解答過程：由于靜摩擦力f的方向不能馬上確定，但由其性質可知在此問題下只能是向左、向右或為零[3]。故先假定f水平向右，若解得f為正，則表明f的方向與所設方向一致；若為負，則與之相反。設向右為x軸正向，圓柱體半徑為R、質量為m，則由質心運動定理及剛體對質心軸的轉動定律可列出以下兩式：靜摩擦力的方向水平向左。

例2 如圖2示，一半徑為R、質量為m的均質圓盤置于粗糙的水平桌面上。現令其以初始角速度ω0自轉，設圓盤與桌面間的摩擦系數為μ，求經過多長時間圓盤才停止旋轉。

講評：作為一個典型的傳統問題[4]，本題常見的解答錯誤有兩點：一是對力矩的求法，不少學生認為摩擦力為μmg，因而桌面對圓盤的力矩為M=rf=μmgr；二是因圓盤未固定于某一定軸，無法正確確定轉動軸的位置。

分析：從整體來看，這是力矩對時間的累積，應該用轉動定律求解。剛體對定軸的轉動定律公式為原始公式。

再分析：剛體在粗糙水平面上旋轉，圓盤質量均勻分布，因初始角速度ω0不為零，故圓盤在水平桌面上繞過質心且垂直于盤面的軸作雖無軸而有軸的轉動，仍然是“定軸”轉動，且各個質元對軸的摩擦力矩因其位置不同而不同。

解答過程：剛體繞定軸轉動的轉動定律M=Jα=J，故原始公式為Mdt=Jdω。式中J=mR2為圓盤繞通過質心且垂直于盤面的軸轉動時的轉動慣量。

現在來計算圓盤所受的摩擦力矩M。設圓盤密度為ρ，對任一小質元，其質量dm可表示為dm=ρrdrdθ，每個小質元所受到的摩擦力矩dM=rμgdm，因而圓盤所受的總摩擦力矩為此即為所求。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 教育部高等學校物理學與天文學教學指導委員會.大學物理課程教學基本要求[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 馬文蔚.物理學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2006，15.

[3] 漆安慎，杜嬋英.力學（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005，241.

[4] 程守誅，江之永主編，胡盤新等改編.普通物理學（第五版）（第一冊）[M].北京：高等教育出版社，1997，191.

[責任編輯：張 雷]