國學(xué)經(jīng)典中的數(shù)學(xué)思想方法賞析

劉勝月　劉戌昕

【摘 要】本文主要挖掘揭示了一些國學(xué)經(jīng)典中的數(shù)學(xué)思想方法，從數(shù)學(xué)視角研究國學(xué)內(nèi)涵，通過典型例題具體分析說明成語典故的哲理在數(shù)學(xué)命題、解題中的應(yīng)用，旨在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進(jìn)一步貼近大眾。

【關(guān)鍵詞】國學(xué)經(jīng)典 數(shù)學(xué)思想方法 命題 解題 賞析

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2015）08-0120-02

一 國學(xué)經(jīng)典中的數(shù)學(xué)思想方法

后發(fā)制人，出自《孫子·軍爭(zhēng)》：“后之發(fā)，先之至，此用兵之要術(shù)也”，意為等對(duì)方先動(dòng)手，再抓住有利時(shí)機(jī)反擊，制服對(duì)方。蘊(yùn)涵極限定義思想方法。在函數(shù)極限的ε-δ定義中，對(duì)任意ε>0，總存在δ>0，使得當(dāng)0﹤∣x-x0∣﹤δ時(shí)，都有∣f（x）-A∣﹤ε，則稱f（x）在x趨向于x0時(shí)的極限為A。這里δ后制ε。同樣在數(shù)列極限的ε-N定義中，N后制ε。

愚公移山，這個(gè)故事記載在戰(zhàn)國·列子《列子·湯問篇》中。故事的主人公愚公曰：“子子孫孫無窮匱也”，意為子子孫孫無窮無盡。蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想（由命題對(duì)k成立推出命題對(duì)k+1成立）。

欲擒故縱，兵法《三十六計(jì)》第十六計(jì)，意為故意先放對(duì)方一馬，使敵人放松戒備，充分暴露，然后再將其捉住。其中蘊(yùn)涵反證法思想：先假設(shè)命題結(jié)論不成立，即命題結(jié)論的否定成立（故縱），再經(jīng)過推理論證得出矛盾，從而證明結(jié)論成立（欲擒）。

田忌賽馬，記載在西漢·司馬遷《史記·卷六十五·孫子吳起列傳第五》中。齊國大將田忌和齊威王賽馬。他們把馬分成上、中、下三等，上等馬對(duì)上等馬，以此類推。田忌每個(gè)等次的馬都比齊威王的慢，因此三個(gè)回合下來，田忌皆敗。一旁觀戰(zhàn)的朋友孫臏給他支著兒，于是新一輪賽馬開始了，田忌先用下等馬對(duì)齊威王的上等馬，再用上等馬對(duì)齊威王的中等馬，又用自己的中等馬對(duì)齊威王的下等馬。田忌以兩勝一敗的成績贏了齊威王。同樣的馬匹，只是調(diào)換了比賽的出場(chǎng)順序，就得到反敗為勝的結(jié)果。這里蘊(yùn)涵運(yùn)籌學(xué)中的最優(yōu)化思想。

曹沖稱象，出自晉·陳壽《三國志·魏書·武文世王公傳》。有一次，孫權(quán)送來了一頭巨象，太祖（曹操）想知道這象的重量，詢問屬下，都不能說出稱象的辦法。曹操的小兒子曹沖說：“把象放到大船上，在水面所達(dá)到的地方做上記號(hào)，再讓船裝載石頭，當(dāng)水面達(dá)到該記號(hào)的時(shí)候稱量這些石頭的總重量，大象的重量就等于石頭的總重量。”曹沖把大象的重量轉(zhuǎn)化為石頭的重量，使問題得到解決。此典故蘊(yùn)涵轉(zhuǎn)化與化歸思想。《呂氏春秋·察今》曰：“故審堂下之陰，而知日月之行，陰陽之變。”意思是說，觀察堂屋影子的變化就能知道日月運(yùn)行的情況，反映了象與原象的變化關(guān)系。蘊(yùn)涵映射與函數(shù)思想。

二 巧悖數(shù)學(xué)思想，成就千古名篇

佛教把眾生世界分為“三界”，孫悟空乃三界之外靈物，吳承恩巧妙違背數(shù)學(xué)分類思想的不重不漏原則，成功地塑造了我國古代四大名著之一《西游記》中的孫悟空人物形象。

刻舟求劍，出自戰(zhàn)國·呂不韋《呂氏春秋·察今》。楚國有個(gè)人乘船渡江，劍從船上掉進(jìn)了水里。他急忙在船沿刻上記號(hào)，說：“這兒是我的劍掉下去的地方。”船靠岸后，這個(gè)人順著船沿上刻的記號(hào)下水去找劍。船已經(jīng)走（行駛）了很遠(yuǎn)，而劍還在原來的地方不會(huì)隨船而前進(jìn)。用這樣的辦法來找劍，不是很糊涂嗎？我們從現(xiàn)代數(shù)學(xué)映射觀點(diǎn)來看，原象只有船沿上刻的記號(hào)一個(gè)，船行駛以后出現(xiàn)了無數(shù)個(gè)象（記號(hào)對(duì)應(yīng)的水下位置），這個(gè)楚國人違背了函數(shù)與映射思想，誤解了象與原象（事物自身）的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

三 成語典故的哲理在數(shù)學(xué)命題、解題中的應(yīng)用

擒賊先擒王，出自唐·杜甫《前出塞》詩之六：“射人先射馬，擒賊先擒王”，指作戰(zhàn)要先抓主要敵手，也比喻做事要抓關(guān)鍵。在恒成立問題的解題中，常利用最值（最大值或最小值）解決問題。

例1，（2013新課標(biāo)全國Ⅰ卷理21）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2。（1）求a，b，c，d的值；（2）若x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍。

解析：（1）（略）。（2）由（1）知f（x）=x2+4x+2，g（x）=ex（2x+2）。當(dāng)x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x），即x≥-2時(shí)，kg（x）-f（x）≥0恒成立。令F（x）=kg（x）-f（x），則x≥-2時(shí)，F(xiàn)（x）的最小值（擒王）非負(fù)即可。F′（x）=（kex-1）（2x+4），由題設(shè)可得F（0）≥0，故k≥1，令F′（x）=0，得x1=-ln k，x2=-2。

（1）若1≤k0，即F（x）在[-2，+∞）上最小值為F（x1）=2x1+2- -4x1-2=-x1（x1+2）≥0，此時(shí)f（x）≤kg（x）恒成立。（2）若k=e2，F(xiàn)′（x）=（ex+2-1）（2x+4），故F（x）在[-2，+∞）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）在[-2，+∞）上最小值為F（-2）=0，所以f（x）≤kg（x）恒成立。（3）若k>e2，則F（-2）=-2ke-2+2=-2e-2（k-e2）<0，從而當(dāng)x∈[-2，+∞]時(shí)，f（x）≤kg（x）不可能恒成立。

綜上所述，k的取值范圍為[1，e2]。

以逸待勞，出自《孫子·軍爭(zhēng)》：“以近待遠(yuǎn)，以佚待勞，以飽待饑，此治力者也”，意指我方養(yǎng)精蓄銳（以逸即以靜），坐等疲乏的敵人來犯時(shí)給以迎頭痛擊（待勞即制動(dòng)）。在求解含兩個(gè)以上動(dòng)點(diǎn)的最值時(shí)，常依據(jù)這一策略以靜制動(dòng)地解決問題。

例2，（2013重慶卷理7）已知圓C1：（x-2）2+（y-3）2=1，圓C2：（x-3）2+（y-4）2=9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為（ ）。

A.5 -4 B. -1 C.6-2 D.

答案：A。

解析：將P點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到定點(diǎn)圓心的距離（以靜制動(dòng)）。

|PM|min=|PC1|-R1，|PN|min=|PC2|-R2（R1，R2分別為兩圓的半徑）

（|PM|+|PN|）min=（|PC1|+|PC2|）min-R1-R2

兩圓心坐標(biāo)分別為C1（2，3），C2（3，4）。C1關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)C1′的坐標(biāo)為（2，-3），連接C2C1′，線段C2C1′與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)（如圖1）。

（|PM|+|PN|）min=（|PC1|+|PC2|）min-R1-R2=|C2C1′|-

R1-R2

= -1-3= -4= -4

借尸還魂，兵法《三十六計(jì)》第十四計(jì)，原意是指使已經(jīng)死亡的東西，借用另一種形式出現(xiàn)。其實(shí)質(zhì)是利用沒有作為或不能有作為的加以控制。受借尸還魂策略的啟發(fā)，我們常常利用某些公式的結(jié)構(gòu)形式解題、命題。待定系數(shù)法也可看作借尸還魂策略在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

例3，（2013安徽卷理8）函數(shù)y=f（x）的圖象如圖2所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n（n≥2）個(gè)不同的數(shù)x1，

x2，…，xn，使得 ，則n的取值范

圍為（ ）。

A.{3，4} B.{2，3，4} C.{3，4，5} D.{2，3}

答案：B。

解析：利用過兩點(diǎn)直線的斜率公式結(jié)構(gòu)形式，將條件

看作 ，

問題轉(zhuǎn)化為過原點(diǎn)作直線與函數(shù)y=f（x）的圖象可以有幾個(gè)不同的交點(diǎn)，觀察可得n的取值范圍是{2，3，4}。

例4，（2013湖北卷理13）設(shè)x，y，z∈R，且滿足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z= ，則x+y+z=________。

答案： 。

解析：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)構(gòu)形式，設(shè)向量a=（x，y，z），b=（1，2，3），把x+2y+3z看作是a·b，即a·b=x+2y+3z= ，又| a |=1，| b |= ，

∴向量a，b方向相同，∴z=3x，y=2x，

代入已知得 ，

∴x+y+z=6x= 。

例5，[2013福建卷理21（1）（選修4-2：矩陣與變換）]

①已知直線l：ax+y=1在矩陣 對(duì)應(yīng)的變換作用

下變?yōu)橹本€l′：x+by=1。求實(shí)數(shù)a，b的值。

解：（1）①設(shè)直線l：ax+y=1上任意點(diǎn)M（x，y）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下的像是M′（x′，y′）。

由 ，得 。

又點(diǎn)M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′=1，即x+（b+2）

y=1，利用直線l方程的形式，通過待定系數(shù)法得 ，

從而 。

倒行逆施，出自西漢·司馬遷《史記·卷六十六·伍子胥列傳第六》：“吾日莫途遠(yuǎn)，吾故倒行而逆施之”，意為做事違反常理，不擇手段。參考倒行逆施這一思維方式，數(shù)學(xué)命題時(shí)常給出結(jié)果而求過程中的參數(shù)。分析法、逆向思維解題、逆用公式等也可看作這一思維方式在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

例6，（2013浙江卷理13）設(shè)z=kx+y，其中實(shí)數(shù)x，y

滿足 。若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k=_______。

答案：2。

解析：根據(jù)約束條件畫出可行

域如圖3。因?yàn)閦的最大值為12。

所以直線kx+y=12必過（4，4）

點(diǎn)，∴k=2。

一般線性規(guī)劃問題是已知可行

域求目標(biāo)函數(shù)的最值，本題是已知目標(biāo)函數(shù)的最大值求目標(biāo)函數(shù)中的待定系數(shù)。

反客為主，出自明·羅貫中《三國演義》第七十一回：“拔寨前進(jìn)，步步為營，誘淵來戰(zhàn)而擒之，此乃反客為主之法。”意為客人反過來成為主人，比喻變被動(dòng)為主動(dòng)。將常量視為變量、變量視為常量是反客為主在數(shù)學(xué)解題中的具體體現(xiàn)。

例7，設(shè)不等式2x-1>m（x2-1）對(duì)滿足|m|≤2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立，求x的取值范圍。

四 后記

“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”是高中數(shù)學(xué)課程基本理念之一。挖掘國學(xué)經(jīng)典中的數(shù)學(xué)思想方法，是從數(shù)學(xué)視角研究國學(xué)內(nèi)涵，把數(shù)學(xué)文化從縱向用數(shù)學(xué)、看數(shù)學(xué)拓展為橫向用數(shù)學(xué)看文化，豐富了數(shù)學(xué)的美學(xué)內(nèi)涵，提升了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。教學(xué)中適當(dāng)剖析國學(xué)經(jīng)典中的數(shù)學(xué)思想方法，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，陶冶學(xué)生情操；可以幫助學(xué)生從學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)逐步學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進(jìn)一步貼近大眾。

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕