淺析平面向量在圓錐曲線中的應用

劉金林

解決有關圓錐曲線的問題，不僅要用到圓錐曲線的定義、性質，還要了解解決圓錐曲線的常用方法。在高考數學體系中，圓錐曲線占有很重要的地位。而平面向量又是新增的內容，它體現了現代數學思想，它作為工具性知識兼具代數和幾何形式的雙重身份，故它是聯系多項知識的媒介，成為中學數學知識的一個交匯點。而圓錐曲線對高中數學的許多知識點都有一定的親和力。在知識網絡的交匯處出題是考試命題的主導思想。因此在眾多方法中，我們更應該注重平面向量在圓錐曲線問題解決中的作用。在此根據題目自身的特點歸納和總結了平面向量的坐標表示和平面向量的模在解決圓錐曲線問題中的應用。

1向量的共線的應用

1.1求相關量的取值范圍

運用向量的共線的相關知識，可以較容易地處理涉及三點共線、定比分點、直線等問題。在處理圓錐曲線中求相關量的取值范圍、求直線的方程、求待定字母的值、證明過定點等問題時，如能恰當的運用平面向量共線的相關知識，常常能使問題較快捷的得到解決。

例1：給定拋物線C： ，F是C的焦點，過點F的直線 與C相交于A、B兩點，且 ，求 在y軸上的截距的變化范圍。

分析：設A、B兩點的坐標，將向量間的共線關系轉化為坐標關系，再求出 在y軸上的截距，利用函數的單調性求其變化范圍。

解：設 ，由 得： 即

由②得 ，因 ， ，

所以 ③，聯立①③得， 。

而 ，所以 ；當直線 垂直于x軸時， ，不符合題意。

∴直線 的方程為 ，直線 在y軸上的截距為 。由 知， 在 上單調遞減，所以 ，

于是直線 在y軸上的截距的變化范圍是 。

評注：圓錐曲線與向量綜合進行考查，試題以圓錐曲線為載體，以探討直線和圓錐曲線的位置為切入點，以向量為工具，重點考查圓錐曲線的基本數學思想方法和綜合解題能力。

1.2求待定字母的值

例2：已知兩定點 ，滿足條件 的點的軌跡是曲線E，直線 ：y=kx-1與曲線E交于A、B兩點，如果 ，且曲線E上存在一點C，使得 ，求m的值

分析：設相關點的坐標，將題目中的向量關系代數化，聯立直線和雙曲線，通過韋達定理、弦長公式等進行計算。

解：由雙曲線的定義知，曲線E是以 為焦點的

雙曲線的左支（見圖3），，且 易知 。故

曲線E的方程為： ①。

設 ，直線 的方程代入 ①

得 。又已知直線與曲線E相交與A、B兩點，有 ，解得 .

又 ，整理得： ，但 ，所以 。故直線AB的方程為：

設 ，由已知 ，得 ，又

= ， ，所以點C ，將C的坐標代入曲線E的方程，得 ，但當 時，所得的點不在雙曲線的左支上，不合題意，所以

評注：通過適當的設點，將向量關系代數化，再根據圓錐曲線的定義以及一些性質、直線與圓錐曲線的位置關系來解決問題。

1.3證明過定點問題

例3：如圖4，直線 交拋物線 于 、 兩點，且 ，又點M在y軸上，且M（0，-2），求證：直線AB經過M點。

解：設 、 ，因為 ，

所以 ，又 ，所以 。

要證直線AB經過M點，即需證 共線，即需

證存在非零實數 ，使得 成立，又

，

所以只需證 。

又因為

，所以 共線，即證得直線AB過M點

評注：本題以圓錐曲線為載體，證明過定點的問題，本題用了向量的共線來證明，是否可以用直線的斜率相等來證明？直線的斜率和向量之間有方向向量可以聯系。

從以上的幾個例子，不難發現在圓錐曲線的解題中運用平面向量的共線的相關知識，往往是依題將題目中涉及到共線的內容轉化為坐標之間的代數關系，從而使問題簡化。

2向量的夾角的應用

通常當圓錐曲線問題中涉及到求夾角的大小、求相關量的取值范圍等內容時，往往可以考慮運用平面向量的夾角的相關知識來解決。

2.1求相關量的取值范圍

例4：橢圓 的焦點為 、 ，P為該橢圓上的動點，當 為鈍角的時候，求點P的橫坐標的取值范圍。

解： 可以看成向量 與 的夾角，由向量的數量積的定義可知：

，由于 、 為橢圓的兩個焦點，所以有： 、 ， ，則 ①，又因為P點在橢圓上，所以： ，代入①得， 解得： ，所以P點的橫坐標的取值范圍：

3向量的數量積

向量的數量積將一些幾何知識與代數知識充分的聯系在一起，它可以處理垂直、長度、三角形面積和三角函數等問題。所以在解決圓錐曲線中的一些問題時，它通常可以運用在探索點、線的存在性、求參數的取值范圍和求圓錐曲線的方程等方面。

3.1探索點、線的存在性

例14：已知A、B為拋物線 上的兩點，直線AB過該拋物線焦點F，且A、B在準線上的射影分別為C、D。

（1） 若 ，求拋物線的方程。

（2） 拋物線的準線上是否恒存在一點K，使得 ？

解：（1）顯然過A、B的直線斜率不存在時不滿足題意。故可設直線的方程為： ，代入拋物線方程，得 ，不妨設 ，所以有： ，則有， ，

則 ，所以拋物線的方程為：

（2）設線段AB的中點P在準線上的射影為T，則

.

所以存在點K，即線段AB的中點在準線上的射影，使得 成立。

結論發散1：x軸上是否存在一點K，使得 ？

結論發散2：求證：存在實數 ，使得 .

縱觀以上幾個例子，可以發現：在圓錐曲線問題中運用向量的數量積，往往題目中出現了向量的數量積或構造向量的數量積，通過向量的數量積的表達式、意義和運算性質，從而達到將問題簡化的目的。

通過以上相關例題的分析，我們不難得出這樣一個結論：平面向量的坐標表示、模、共線、夾角、數量積等知識在圓錐曲線中的應用主要有以下幾個方面：（1）求待定字母的值（2）求動點的軌跡方程（3）求相關圓錐曲線的方程（4）探索點、線的存在性（5）求相關量的取值范圍（6）證明過定點問題。

平面向量的幾何意義、性質、數量積等的坐標運算與圓錐曲線本身的特點（坐標化）結合比較緊密。在圓錐曲線中涉及到長度、角度、垂直等諸多問題中，如能適當的構造向量，利用向量的幾何意義和運算法則，將其轉化為向量的運算，往往使問題簡捷獲解。

縱觀以上例題，我們可以發現：平面向量在圓錐曲線有關問題中出現往往有兩種形式：一類是給出的問題中已經有平面向量出現，即可以用向量作為工具來解決圓錐曲線的相關問題；另一類是在題目中未出現平面向量的面孔，即以平面向量為載體來考察圓錐曲線等知識。當題目中出現向量時，往往我們很容易的想到用向量的有關知識將問題轉化；當題目中沒出直接出現向量時，我們就需要充分的挖掘題目隱含的內容，積極的與向量的有關知識進行聯系，爭取能運用向量這個工具來簡化問題，特別是題目中出現了長度、夾角、垂直、三角形的面積、共線等內容時，往往可以運用向量來簡化問題。

但是，并不是圓錐曲線中的任何問題都必須由平面向量來解決，也并不是圓錐曲線的問題用平面向量的相關知識來解決都的比較簡單。