高中物理教材中微元法的體現和應用

周笑春

高中物理新教材中有多處涉及微元極限的思想和用微元法解題的知識，微元法，就是將研究對象（物體或物理過程）進行無限細分，從其中選取某一微小單元（稱為“微元”， 通常選取時間微元、空間微元）進行分析和討論，從而找出研究對象變化規律的一種解題方法。

在使用微元法處理問題時，需將研究過程分解為眾多微小的“元過程”，而且每個“元過程”所遵循的規律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”遵循的規律，然后再將其進行必要的數學方法（累加求和）或物理思想的處理，就可以使問題得以解決。

一、用取微元極限方法研究變化的物理過程中的瞬時狀態

例如：瞬時速度的定義，平均速度（v=—）只能粗略地描述物體運動快慢，要準確地描述物體運動快慢，可以把Δt取得小一些。物體在從t到t+Δt這樣一個非常小的時間間隔內，運動快慢的差異也就非常小，Δt越小，運動的描述就越精確。如果Δt非常非常小，即（Δt→0），就可以認為這非常小時間內的平均速度表示的是物體在時刻t的瞬時速度。

又例如瞬時加速度的定義，加速度（a=—）表示的一段時間內的平均加速度，當Δt非常小（Δt→0），—表示的就可以看成是時刻t的瞬時加速度。

這兩種情況都是用變化率來描述物理量的變化快慢，用物體在某一時刻之后極短時間內的變化率來描述物體在該時刻的瞬時狀態，這里的“Δt”非常小，實際上就滲入了時間微元的理念。Δt→0是用極限思想來描述變化的物理過程中的瞬時狀態。

二、用取微元再求和來解決物理過程中的變量積累問題

例如：推導勻加速直線運動位移公式。課本在研究勻變速直線運動位移時，把時間劃分為許多小的時間間隔Δt（時間微元），當Δt取的很小時，速度的變化就會很小，可以近似地認為速度不變，為每一段時間微元Δt起始時刻的速度，這樣就可以“化變速為勻速”，它的速度圖線由圖中的一些平行于時間軸的間斷線段組成。由于勻速直線運動的位移可以用v-t圖像中圖線與時間軸之間所包圍的面積來表示，因此物體運動在時間t內的位移，可用圖中的一個個小矩形面積之和（即階梯狀折線與時間軸之間的面積）來表示，即：x=v0×Δt+v1×Δt+v2×Δt+ v3×Δt+…

如果時間的分割再細些，它的速度圖像就更接近于物體的真實運動的圖像，階梯狀折線與時間軸之間的面積就更接近于傾斜直線與時間軸之間所圍的面積。當時間間隔無限細分時，間斷的階梯線段就趨向于傾斜直線，階梯狀折線與時間軸之間的面積就趨向于傾斜直線與時間軸之間的面積。這樣，我們就可以得出結論：勻變速直線運動的位移也可以用速度圖像中圖線與時間軸之間所包圍的面積來表示，從而推導出勻變速運動的位移公式。

課本在研究重力做功時，也運用了微元的思想，假設物體沿任意一路徑由高度是h1的起點A，運動到高度是h2的終點B，如圖所示。把整個路徑分成許多很短的間隔AA1 ，A1A2，A2A3，… 由于每一段都很小，因而都可以近似地看做一段傾斜的直線，“化曲為直”，設每段小斜線的高度差分別是△h1，△h2，△h3…則物體通過每段小斜線時重力所做的功分別為mg△h1，mg△h2，mg△h3，…物體通過整個路徑時重力所做的功，等于重力在每小段上所做的功的代數和，即

WG=mgΔh1+mgΔh2+mgΔh3+… =mg（Δh1+Δh2+Δh3+…）

WG=mgh=mgh1-mgh2

課本內容的處理將微元思想體現得淋漓盡致，這里用到取微元的一個處理方法，可以“化變為恒”，“化曲為直”，在課堂教學時最好配合微元越取越小的動畫課件，讓學生從生動形象的課件上看到變化的過程，更易于理解，為以后電磁學部分微元法的學習打下了良好的基礎。

要熟練地掌握了微元法解題的基本方法，高三專題復習時，還要引導學生進行相應的鞏固練習，將題目進行變化，拓展訓練。經過訓練，絕大部分高三學生能夠學會運用微元法來分析典型的物理問題。

總之，微元法是我們研究解決物理問題的重要方法之一，它貫穿于高中階段的物理知識體系中，滲透于一些物理概念、公式、非勻變問題的解題中，“微元法”豐富了我們處理問題的手段，拓展了我們的思維，加強了我們對已知規律的再思考，從而起到鞏固知識、加深認識和提高能力的作用。高中學生特別是高三的學生，應當熟練掌握。

（作者單位：江蘇省淮安市清江中學）