學生存在的問題應該是教學構思的出發點

羅秋佳

一、提出問題

在中考復習課上我們都需要通過一次次的教學，使學生的數學知識得到梳理、系統化. 不僅如此，還要善于發現學生的問題所在，困難所在，針對學生的問題、易錯方面來構思教學，切實幫助學生，通過中考復習階段的教學，提高學生綜合知識解決問題的能力. 因此中考復習中教師設計問題要對癥下藥，符合學生的實際，構思好的問題情景，通過解決這些問題后學生的綜合知識解決問題的能力得到很好的鍛煉，同時也使學生對這些最為基礎的知識有更深刻的認識. 筆者構思了這樣一個問題：已知在等腰三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，在此等腰三角形上是否存在既平分面積又平分周長的直線？

這個問題有一定難度，我就采取先給學生一節課的時間去獨立練習、思考，然后把學生解答過程進行初步的分析、統計. 全班每一名學生都想到：過等腰三角形的頂點A作底邊的垂線，這條直線一定既平分周長又平分面積. 有部分學生是這樣來分析的：過點B、C的直線既平分周長又平分面積是不可能的. 那么這樣的既平分周長又平分面積的直線如果還有，就僅可能是與一腰和一底相交的直線或與兩腰相交的直線. 還有一些學生用方程的思想去找這樣的直線. 但是全班沒有一名學生完全解答正確. 所以這節課我就準備從對這個問題的分析開始.

二、初步的教學過程

問題1：如果在等腰三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，在此等腰三角形上是否存在既平分面積又平分周長的直線？

首先，從作業中教師可以了解到：學生幾乎都考慮到過頂點A作底邊BC的垂線，這條直線能夠既平分周長又平分面積. 教師在此可以肯定學生對軸對稱能靈活運用.

其次，百分之四十的學生考慮到對問題要分析下去，應該分類思考，他們有分類的意識. 他們考慮到：過點B、C的直線如果平分面積就不能平分周長，如果平分周長就不能平分面積，所以過B、C點不存在既平分面積又平分周長的直線. 他們有的考慮：直線過兩腰，有的考慮直線過一腰、一底. 教師在此也應該充分肯定這部分學生的思考問題有條理性但是不夠全面、徹底.

學生的困難在什么地方呢？仔細分析后發現一些學生會設未知數，并由周長相等來建立等量關系，但是由面積相等來建立等量關系，他們有困難，他們總是考慮要找三角形的高，但他們意識到題目條件里并沒有提供高的條件或是沒有辦法尋找到求高的條件，問題的關鍵是他們計算面積的方法太單一，思路較為狹窄.

因此教師就啟發學生分析如下：

在圖1中，設AE = x，BF = y，則 BE = 5 - x，FC = 6 - y，AC = 5.

如果直線EF既平分面積又平分周長，可以建立方程為：

因此這樣的能夠既平分周長又平分面積的直線有三條. 學生此時非常感嘆：代數方法的精確求解非常有用！有趣！

三、在啟發反思后，更為深入地探討

最后，引導學生反思和總結，并提出新的問題.

1. 探究在等腰三角形上是否存在既平分面積又平分周長的直線，在這里可以轉化為代數問題，進一步用方程思想來解決它.

2. 求出方程的解并不是已經完成任務，而應該檢驗求出的根的取值范圍是否合理.

3. 對于這個問題的解決，你可以再思考出更為簡單、巧妙的方法嗎？

4. 從這個問題的解決，你能提出新的問題嗎？如果是腰大于底的等腰三角形是否也有且既平分周長又平分面積的三條直線？

注意：（1）對于第3個提問，有學生思考出更為簡單的方法：因為該三角形的周長為：5 + 5 + 6 = 16，所以半周長為：8，所以只需設AE = x，AF = 8 - x，BE = 5 - x ，CF = x - 3.

（2）在第三步中，因為與一腰一底相交且既平分周長又平分面積的直線可以看作是等腰三角形的頂角的平分線轉動x，那么DF也轉動x，即可以設AE = x，推導出：DF = x，進一步可以得出：BF = 3 + x，CF = 3 - x.

教師進一步啟發學生思考：當分析到這里時同學們有什么問題嗎？問題1的等腰三角形有何特點？即底大于腰. 如果是腰大于底問題又該如何？由此引出下面的問題：

問題2：如果在等腰三角形ABC中，AB = AC = 6，BC = 5，在此等腰三角形中是否存在既平分面積又平分周長的直線？

第一步：學生由于有了問題1的解題經驗，學生解決這個問題可能要輕松些. 故對于這個問題的解決可以讓學生作為課堂練習來做.

第二步：可以找學習能力中等的學生到黑板上來板演解題過程.

第三步：歸納學生的解答，可以得出也有三條直線既平分面積又平分周長. 但是與問題1的解答稍有不同：一條是頂角的角平分線，另兩條是與一腰和一底相交的直線.

在解決了問題1和問題2后，可以啟發學生思考，如果是一般的等腰三角形是否還存在既平分面積又平分周長的三條直線？即下面的問題：

問題3：如果在等腰三角形ABC中，AB = AC = a，BC = b，在此等腰三角形中是否存在既平分面積又平分周長的直線？

對于該問題，由于難度較大，可以安排在課外數學興趣小組中去繼續討論.

第一步：啟發學生分類思考，分a > b，a < b 兩種情況來考慮.

第二步：教師可以引導學生在數學興趣小組中討論a > b這種情況.

所以x1，x2都必須舍去. 故當底大于腰的等腰三角形，即a > b時存在三條既平分面積又平分周長的直線.

當腰大于底時，即a < b的等腰三角形可以布置給學生課后去思考.

最后，筆者的思考：學生帶著問題去聽課，感覺非常有趣，他們想要知道問題的解答方法和答案，他們聽得很認真，喜歡思考. 在學生存在的問題的基礎上來設計教學非常適合學生的最近發展區，能有效地提升學生的思維能力和綜合解決問題能力. 所以好的問題情境是對學生非常有利的. 什么是好問題情境呢？太難學生會喪失信心，太容易學生會輕視. 所以針對學生的問題來設計問題情境是很有用的，這應該是中考復習中設計問題的出發點. 教師所設計的問題有針對性就會切實提高學生的能力，而且是高效的復習課.