集合與常用邏輯用語考點預測

黃偉軍　戴文鋒

2014年高考已過去，2015年高考集合與簡易邏輯用語版塊怎樣考是我們師生都相當關注的問題，本文從廣東高考題目中經常考查的集合與簡易邏輯用語熱點考點的高考考綱要求、命題形式、分值等入手，結合一些最新的高考模擬題進行剖析， 預測2015年高考集合與簡易邏輯用語版塊的命題方向，旨在幫助學生熟練掌握集合與簡易邏輯用語版塊問題的解答方法. 供同學們在沖刺階段時參考.

集合篇

一、考情分析

涉及集合的問題是廣東高考中的必考題，一般以選擇題、填空題的形式出現，分值為5-10分，重點考查三個方面：一是考查集合的含義及其表示，如2011年廣東卷第2題；二是考查集合間的基本關系，如2008年廣東卷第1題、2009年廣東卷第1題；三是考查集合的基本運算（交、并、補）， 如2007年廣東卷第1題， 2010年廣東卷第1題、2012年廣東卷第2題， 2013年廣東卷第1題、2014年廣東卷第1題等，是高考的熱點內容，主要與不等式、函數的定義域（值域）等知識相結合，考查借助數軸或韋恩圖進行集合運算的數形結合思想和基本運算能力，從近幾年的考情來看，對于集合的基本運算，高考命題以兩個集合的交與補集為主，多與不等式相結合進行考查，在進行兩個集合的運算時，多借助于數軸或韋恩圖，準確求出相應的集合是解題的關鍵；四是考查 集合中的信息遷移題， 如2013年廣東卷第8題、2014年第8題等 ，以集合中的信息遷移題作為壓軸題是近幾年廣東高考在選擇題命題方面的一大亮麗的風景線.

二、熱點考題預測

熱點一：考查集合的含義、性質及其表示

例1. 已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，則B中所含元素的個數為（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

分析：解答本題的關鍵是理解集合B的含義，寫出集合B中的所有元素.

解析：由題中集合B所滿足的條件，可知集合B中的元素有（1，1），（1，2），（2，1），共3個，故選B.

【點評】本題考查了集合的概念，主要應該分清集合的元素是數集、點集或其他元素的集合，和不同元素集合的正確表示方法，本知識點的考查是每年的必考知識點，在復習時要特別注意一些特殊情形的考慮，例如單元素點集的表示，與空集有關的運算等.

牛刀小試1：已知M={x|y=x2-1}，N={y|y=x2-1}那么M∩N=（ ）

A. ？覫 B. M C. N D. R

提示：M={x|x∈R}，N={y|y≥1}，∴ M∩N=N，故選C.

例2. 設a，b∈R，集合{a，，1}={a2，a+b，0}，求a2015+b2015的值.

分析：因為a為分母，所以a≠0，從而=0，故b=0，所以a2=1，最后求出a，b的值，則問題可解.

解析：由已知得a≠0，從而=0，故b=0，則在集合{{a2，a+b，0}中，a2=1，解得a±1，又a=1時，不合題意，所以a=-1，故a2015+b2015=-1.

【點評】本題主要考查集合的性質，解決集合相關問題常用到集合元素的互異性，一可以作為解題的依據和突破口解決問題，二可以檢驗所求結果是否正確.

牛刀小試2：已知集合A={1，a，b}，B={a，b，ab}，若A=B，則實數a，b的值分別為 .

提示：由A=B得（I）a2=1，ab=b或（II）a2=b，ab=1，因為a≠1，b≠1，由（I）得a=-1，b=0.由（II）得a3=1，無解.故a=-1，b=0.

熱點二：考查集合間的基本關系

例3. 設集合A={x|x2+ax+1=0，x∈R}，B={1，2}，且A？哿B，求實數a的取值范圍.

分析：A？哿B意味著中的元素一定是中的元素或者沒有元素，以此建立等量關系或不等式.

解析：若A= ？覫，則？駐=a2-4<0，解得-2

若1∈A，則12+a+1=0，解得a=-2，此時A={1}，符合題意；

若2∈A，則22+2a+1=0，，解得a=-，此時A={2，}，符合題意.

綜上所述，實數a的取值范圍是[-2，2）.

【點評】在解決兩個集合關系問題時，避免出錯的一個有效手段即是合理運用數軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數的不等式（或方程）時，要對參數進行討論.分類時要遵循“不重不漏”的分類原則，然后對每一類情況都要給出問題的解答. 不要忽略對空集的討論，注意檢驗.

牛刀小試3：設集合A={x|-1≤x<3}，B={x|m-2≤x≤m+2}. 若A∩（CRB）=A，求實數m的取值范圍.

提示∵B={x|m-2≤x≤m+2}，∴？蒿uB={x|xm+2}.

∵A∩（CRB）=A，∴A？哿CRB，∴3≤m-2或m+2<-1，∴m≥5或m<-3.

∴實數m的取值范圍為（-∞，-3）∪[5，+∞）.

熱點三：考查集合的基本運算

例4. 已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，則A∪B= .

分析：解題時，先由A∩B={}分別求出a，b的值，再求出A∪B.

解析：由A∩B={}可知，∈A，所以2a=，a=-1又∈B，所以b=，則A∪B={-1，，1}.

【點評】本題主要考查集合的交、并運算，考查考生的運算求解能力. 從考查內容上看，廣東高考主要以考查概念和計算為主，考查集合的交集、并集、補集且常與不等式聯系起來，以小題形式出現.

例5. 已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B={x|-1

分析： 此類題主要是將不等式在數軸上表示出來.

解析：因為U=R，A={x|-4≤x<2}，B={x|-13}，所以（CuB）∪P={x|x≤0或x≥}.

【點評】當集合是不等式時，求兩個集合的交集、補集的運算時，要充分利用數軸來幫助解答.

牛刀小試4：已知I為實數集，M={x|-12}，則M∩（CIN）= .

提示：M={x|-1

熱點四：考查集合的創新信息題

例6. 設整數n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X}，且三條件x

A.（y，z，w）∈S，（x，y，w）？埸S

B.（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S

C.（y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S

D.（y，z，w）？埸S，（x，y，w）？埸S

分析：根據題意我們可以采用取一組特殊值的方法進行驗證來解決.

解析：特殊值法，不妨令x=2，y=3，z=4，w=1，則（y，z，w）=（3，4，1）∈S ， （x，y，w）=（2，3，1）∈S ，故選B.

【點評】解此類問題的關鍵是理解并掌握題目給出的新定義（或新運算）.思路是找到與此新知識有關的所學知識，幫助理解.同時，找出新知識與所學相關知識的不同之處，通過對比加深對新知識的認識.

牛刀小試5：對于兩個正整數m，n，定義某種運算“⊙”如下，當m，n都為正偶數或正奇數時，m⊙n=m+n；當中m，n一個為正偶數，另一個為正奇數時，m⊙n=mn，則在此定義下，集合M={（p，q）|p⊙q}=10，p∈N*，q∈N*中元素的個數是 .

提示：若p，q都為正偶數或正奇數時，有p+q=10，解得p=1，q=9，p=2，q=8，p=3，q=7，p=4，q=6，p=5，q=5，p=9，q=1，p=8，q=2，p=7，q=3，p=6，q=4，共9個；當m，n中一個為正偶數，另一個為正奇數時，有pq=10，解得p=1，q=10，p=2，q=5，p=10，q=1，p=5，q=2，共4個，所以總數有13個.

常用邏輯用語篇

一、考情分析

涉及常用邏輯用語的問題在近幾年廣東高考中出現的頻率還是比較高的，一般以選擇題、填空題的形式出現，分值為5分，當然也可能是解答題，如2011年高考廣東理科第21題就是考查充分性、必要性證明的難題，得分率極低，重點考查三個方面：一是充分條件與必要條件的推理判斷問題，如2010年廣東卷第5題，預測2015年廣東高考，還會是以其他的數學知識為載體進行考查，如與函數、不等式、數列、解析幾何、立體幾何等內容相結合進行考查；充分必要條件的判定方法有定義法、集合法、等價轉換法；二是四種命題及其相互關系、含有邏輯聯結詞的命題的真假判斷的考查，如2008年廣東卷，預測2015年廣東高考，對于命題的真假判斷、給出一個命題寫出它的其它三種命題并判斷真假仍然是考試的熱點，對于四種命題、邏輯聯結詞，常和函數、方程、三角、立體幾何、解析幾何等知識點結合進行考查；三是全稱命題與特稱命題的真假判斷及其寫出其否定形式，近幾年廣東新課標高考還沒有考查過，預測2015年廣東高考，這部分出題的可能性極高.

二、熱點考題預測

熱點五：充分必要條件

例7.“a<1”是“一元二次方程x2+2x+a=0有實數解”的

條件.

分析：我們把“a<1”看作是P，“一元二次方程x2+2x+a=0有實數解” 看作是q，為此解答本題的關鍵是由一元二次方程x2+2x+a=0有實數解，根據方程的判別式？駐>0得到a的范圍或利用配方法及非負數的意義得到a的范圍，再借助充分、必要的含義來判斷即可.

解析：設p：“a<1”，q：“一元二次方程x2+2x+a=0有實數解”，由x2+2x+a=0有實數解知，4-4a≥0？圳a≤1，即p：“a<1”，q：“a≤1”，p ？圯q，反之不成立，故填“充分不必要”.

【點評】高考考綱要求是理解必要條件、充分條件與充要條件的意義. 利用定義法判斷命題充要條件的核心就是判斷充分性及必要性是否成立，其基本步驟是①定條件：確定哪是條件，哪是結論②找推理式：確定p與q中哪一個能推出哪一個；③下結論：根據推理式和定義下結論. 若A，B都是集合，則有下列結論：①A？哿B，則A是B的充分條件；②A？勐B，則A是B的必要條件；③A=B，則A是B的充要條件.

牛刀小試6：若集合A={1，m2}，B={2，4}，則“m=2”是“A∩B={4}”的 .

提示：當m=2時，A={1，4}，B={2，4}，則有A∩B={4}，當A∩B={4}時，不能得到m=2，因為m=-2也合題意，所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要條件.

熱點六：四種命題及其相互關系

例8. 命題“若函數f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定義域內是減函數，則loga2<0”的逆否命題是（ ）

A. 若loga2<0，則函數f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定義域內不是減函數

B. 若loga2≥0，則函數f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定義域內不是減函數

C. 若loga2<0，則函數f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定義域內是減函數

D. 若loga2≥0，則函數f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定義域內是減函數

分析：因為命題是“若p，則q”的形式，所以要寫出它的逆否命題，只需同時否定條件p與結論q，然后互換即可，即為“若，則”.

解析： 依題意為函數f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定義域內不是減函數；為loga2≥0，故選B.

【點評】高考考綱要求是了解“若p則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題.理解命題的概念，會分析四種命題的關系由一命題作為原命題寫出它的其它命題時，可以按相應命題的形式進行，注意有大前提條件的條件應保留在條件中.

牛刀小試7：下列說法中正確的是（ ）

A.“a>b，c<0 ”與“a+c>b+c”不等價

B. 一個命題的逆命題為真，則它的否命題一定為真

C. 一個命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真

D.“x2+y2=0，則x，y全為0”的逆否命題是“若x，y全不為0， 則x2+y2≠0”

提示：“a>b，c<0”與“a+c>b+c ”等價，A不正確；一個命題的逆命題為真，則它的否命題不一定為真，B不正確；否命題和逆命題是互為逆否命題，有著一致的真假性，所以正確，故選C.

熱點七：全稱量詞與存在量詞

例9. 已知命題p：？坌x1，x2∈R，（f（x2）-f（x1））（x2-x1）≥0，則是（ ）

A. ？堝x1，x2∈R，（f（x2）-f（x1））（x2-x1）≤0

B. ？坌x1，x2∈R，（f（x2）-f（x1））（x2-x1）≤0

C. ？堝x1，x2∈R，（f（x2）-f（x1））（x2-x1）<0

D. ？坌x1，x2∈R，（f（x2）-f（x1））（x2-x1）<0

分析：的意思是命題的否定.本題含有全稱量詞“任意”，否定時只需把全稱量詞改為存在量詞，同時把結論否定即可.

解析：命題p為全稱命題，所以其否定應是特稱命題，又命題（f（x2）-f（x1））（x2-x1）≥0的否定為（f（x2）-f（x1））（x2-x1）<0，故選C.

【點評】高考考綱要求是理解全稱量詞與存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.對于含量詞的命題的否定只對“量”進行否定即可，且得出以下結論：全稱命題p：？坌x∈M，p（x），的否定為 ：？堝x∈M，（x）；特稱命題p：？堝x∈M，p（x）的否定為：？坌x∈M，（x）.

牛刀小試8：已知命題p：？坌x∈R，cosx≤1，則是 .

提示：因為全稱命題的否定形式是特稱命題，所以“”形式的命題是？堝x∈R，cosx>1.

熱點八：四個考點的綜合考查

例10. 已知下列命題：①命題“若？堝x∈R，x2+1>3x”的否定是“若？坌x∈R，x2+1<3x”； ②已知p，q為兩個命題，若“p∨q”為假命題，則“∧”為真命題；③“ a>2”是“ a>5”的充分不必要條件；④命題“若xy=0，則x=0且y=0”的逆否命題是真命題. 其中所有真命題的序號是 .

分析：判斷一個命題為假時，只需用特殊值法，舉出一個反例即可，而判斷一個命題為真時則要嚴格推理，有時還可以用反證法，將每一個問題逐一判斷其正誤即可.

解析：命題“若？堝x∈R，x2+1>3x”的否定是“若？坌x∈R，x2+1>3x”，故①錯；“p∨q”為假命題，說明p與q均為假命題，則“∧”為真命題，②對a>5？圯a>2；反過來不成立，所以“ a>2”是“ a>5”的必要不充分條件，故③錯；因為“若xy=0，則x=0或y=0”，所以原命題為假命題，則它的逆否命題為假命題.故④錯，故填②.

【點評】將充要條件、四個命題及其關系、簡單的邏輯聯結詞、全稱命題與特稱命題這四個考點放在一起利用填空題（或選擇題）的形式來進行考查也是高考命題的一種方向，這種題型較靈活，考查的知識點多面廣.

例11. 已知命題p：“若 x>1，則lgx >0”，命題q：“？坌x∈R，2x≥1”則下列命題中為真命題的是（ ）

A. （∨q） B. p∨ q C. （）∧（） D. （）∨（）

分析：解答含有邏輯聯結詞“或”“且”“非”的命題的真假性的判斷問題的關鍵是先判斷命題p、命題q的真假，再結合真值表逐一判斷即可.

解析：不難判斷命題p為真命題，命題q為假命題，則為假命題，為真命題，對于A，與q為假命題，故（）∨q為假命題；對于B，因為q為假命題，故p∨q為假命題；對于C，因為為假命題，故（）∧（）為假命題；從而上述敘述中只有（）∨（）為真命題，選D.

【點評】高考考綱要求是了解邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義. 本題是含有邏輯聯結詞“或”“且”“非”的命題的真假性的判斷問題，解決這類問題的關鍵是先判斷命題p與q的真假，而p∨q，p∧q，的形式的命題的真假性判斷的訣竅分別是一真即真、一假即假、非假即真（非真即假）.

牛刀小試9：已知命題p：實數m滿足m-1≤0，命題q：函數y=（9-4m）x是增函數.若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則實數m的取值范圍為 .

提示：命題p為真時，實數m滿足m-1≤0，從而m≤1；命題q為真時，9-4m>1？圯m<2.若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個是真命題，一個是假命題. 若p為真，q為假時，無解；p若為假，q為真時，結果為1

備考建議篇

廣東高考對集合與簡易邏輯部分的命題是以選擇題、填空題為主， 主要考查考生的基礎知識、基本技能，題目多是容易題，在復習備考沖刺中，建議同學們一定要牢牢掌握好基礎知識，平時考試、訓練要重視應用通性通法解題，要加強對基本知識、基本方法、基本技能的運用，不要做難題，應盡力完善知識體系，消除知識漏洞，做到方法到位，思路清晰，學會靈活轉化，能夠透過現象看本質.

（作者單位：五華縣五華中學）

責任編校 徐國堅