數列與不等式考點預測

劉護靈

數列是高中代數的重要內容之一，由于它既具有函數特征，又能構成獨特的遞推關系，使得它與函數、方程、不等式、解析幾何、二項式定理等知識有較緊密的聯系，因此它是歷年高考數學考查的重點和難點，在高考中占有極其重要的地位. 不等式的知識如同萬金油，常常隱藏在其它知識點的題目中考查，尤其是結合數列綜合考查較多，本文以談數列為主，再滲透一些含不等式的數列問題進行預測.

近幾年廣東高考中的數列總體難度并未降低，除了以考查數列的概念、等差數列和等比數列的基礎知識、基本技能和基本思想方法為主，大部分題目特別是解答題都涉及到函數、方程、不等式知識的綜合性問題，在解題過程中常用到等價轉化、分類討論、函數與方程等思想方法.可以說，高考數列解答題處在初等數學與高等數學的交匯處，它是以數列知識為載體，融函數、方程、不等式問題于一體，注重考查應用意識、創新意識和綜合解題能力為特征，它既可以命制成中檔題，也可以命制成難度較大的“次壓軸題”.

一、近幾年廣東高考數列試題統計分析和命題特點歸納

從表 1可以看出，近幾年來廣東文理可考查的數列知識點幾乎相同，我們不妨認為文理考查的知識點相同.在預測 2015 年的數列高考考查的知識點時，假定數列的文理科知識點是一樣的.

從命題趨向穩定的11年開始，和2014年新課標地區高考試卷的數列部分，有幾個鮮明的特點：

1. 數列的題從分值來看，除 2010年為 5 分，數列在試卷中占的部分比重約為10%至13%，題型都穩定在“一小一大”（即1道小題，1道大題），分值都穩定在19分左右.

2. 選擇題和填空題主要考察等差、等比數列的基本概念和性質，突出“小、巧、活”的特點，屬于中等偏易題.

3. 從解答題的題型看，除 2007 年外，文理的題型一樣；08、09年理科的數列題放在了最后一題壓軸的位置，難度極大，似乎為了糾偏，2010年干脆沒有命制數列解答題，有點矯枉過正.從 2011 年開始，命題逐步走向穩定，每年都是一道填空題、一道解答題，延續出題“題型穩定，保持風格”的特點，而且解答題穩定得相當“固執”——連續6年都是考察遞推數列！盡管命題組飽受各界猛烈批評，說所考的遞推數列問題嚴重超綱，轉化方法復雜、費神，但命題專家依然“任憑風吹浪打，我自巋然不動”！原因之一，命題組可能是通過an的特點，“逆向構造”Sn與an的遞推關系，使得題目比較“新穎”和公平！

4. 從解題方法看，2007、2008年都是以數列為主要內容的綜合題壓軸，具有明顯的高等數學背景與競賽數學知識的特點，在后面的幾年里，對數列的要求有所將降低，從最基本的等差等比數列出發，研究數列的基本思想和方程思想，考查等差等比數列通項公式和前n項和，以及求和的基本方法，如錯位相減法、裂項求和法等.而且命題選材方面源于教材、歷年真題，很多都可以找到原型.

例如2013年高考廣東理科數列題與2006年高考安徽理科數列題很相似.

有關數列中不等式的問題，前面介紹了幾種方法，較常用有：剖析通項{an}的不等關系，運用放縮法（拆成兩項之差、放縮后構造等差數列、放縮后構造等比數列），數學歸納法（理科數學）.但運用這些方法時，也不應忘記證明不等式的重要方法（比較法、均值不等式）.有些綜合性較強的數列題還常與函數知識交匯，因此，結合函數的單調性去證明不等式的做法也應注意.特別是不等式一邊是關于n的指數式或對數式時，還要考慮先構造函數，再用導數知識處理.還有，數列還可以和幾何、概率、三角及實際應用問題等相結合進行考察，體現出“在知識的交匯處命題”，考察考生靈活運用知識進行“問題解決”的能力.

（作者單位：廣州市第五中學）

責任編校 徐國堅