例談不等式的構造法證明

侯京賀

【摘要】不等式證明是中職和高中階段數學教育很重要的一個知識點，由于其涉及的知識面廣泛，難易程度差距大，綜合性強，是考查學生數學知識和邏輯思維很好的工具，可謂是考試的重中之重.本文僅就不等式的構造法證明進行歸納，剖析了9種構造方式，基本涵蓋了不等式涉及的各相關知識點，以起到拋磚引玉的作用.

【關鍵詞】中職教育；數學；不等式；構造法；證明

所謂“構造法”是指在數學問題中給已知相關條件，賦予恰當的實際意義，構造出某種數學模型并利用其性質來解決實際問題的方法.它體現了“化歸”的數學思想，在解決許多難題起到“柳暗花明”的效果.本文就構造法證明不等式來做以介紹，權當拋磚引玉.

1.構造三角函數

例1已知 a≤1，b≤1.

求證：ab+（1-a2）（1-b2）≤1.

解析觀察所給條件和結論，發現具有對稱性且滿足正、余弦函數變化范圍，可聯想到構造三角函數，使結論式變無理為有理，利用三角公式多，聯系廣，變化活的特點，把一些問題轉化到三角問題，以打開思路.

2.構造一元二次方程判別式

例2求證 12≤tan2α+tanα+1tan2α+1≤32.

解析由于tanα是任意實數，最高為二次且分式比值介于兩個實數之間，可聯想到一元二次方程它的兩實根把實軸分成三部分，構造出一個形如f1x2+f2x+f3=0的方程，（其中f1，f2，f3是包含已知條件的實函數）則該方程必有實數解，利用其判別式來界定f1，f2，f3的滿足條件，從而得證該不等式.

由以上可知，構造法多應用于一些具有“對稱性”的問題，在該類問題中由于所給條件地位相等，因此可以構造一些特殊圖形或模型來解決問題，至于如何提高構造想象力，這需要在熟悉掌握數學基本知識的基礎上善于總結和領會各種方法思路，勤于思考、精于推理、養成嚴謹靈活多變的思維能力才能把自己的數學知識轉化為數學能力.

運用構造法解題也是培養學生創造意識和創新思維的手段之一，在實際教學中，我們應該通過構造法解題訓練學生發散思維，謀求最佳的解題途徑，達到思想的創新.

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