賞析一道高考解析幾何試題

林琳

一沙一世界，一花一天國，一道優質試題也能折射出數學的理性光芒.例如2013年高考陜西卷理科第20題，結構美妙、結論和諧，讓人在悠遠的意境中感受到深邃的數學之美.

題目：已知動圓過定點A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8.

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方程；

（Ⅱ）已知點B（-1，0）， 設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線， 證明直線l過定點.

答案：（Ⅰ）軌跡C的方程為：y2=8x；（Ⅱ）直線l過定點（1，0）.

一、 初步推廣

結論1已知點T（t，0）， 設不垂直于x軸的直線l與拋物線C：y2=2px（p ≠ 0）交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PTQ的角平分線， 則直線l過定點（-t，0）.

圖1證明：如圖1，易知t與p異號，不妨設p > 0. 由PQ不垂直于兩坐標軸得直線TP與直線TQ都不是拋物線C的切線，即直線TP與拋物線有另一交點Q′，直線TQ與拋物線有另一交點P′.由于x軸是∠PTQ的角平分線，結合拋物線C的對稱性得：P′與P關于x軸對稱，Q′與Q關于x軸對稱.故PQ，P′Q′和x軸三線共點D.

設P（x1，y1），Q′（x2，y2）則P′（x1，-y1），Q（x2，-y2），又設直線PQ的方程為x=my+t，其中m ≠ 0.結合y1-0[]x1-x0=（-y2）-y1[]x2-x1，得x0=2my1y2[]y1+y2+t①

另一方面，y2=2pxx=my+ty2 - 2pmy - 2pt=0 y1+y2=2pm，y1y2=-2pt.

代入①得，x0=-t.即直線l過定點D（-t，0）.

類似地，可以證明結論2和結論3.

結論2已知點T（t，0）， 設不垂直于x軸的直線l與橢圓C：x2[]m+y2[]n=1（m > 0，n > 0）交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PTQ的角平分線， 則直線l過定點m[]t，0.

結論3已知點（T，t，0）， 設不垂直于x軸的直線l與雙曲線C：x2[]m+y2[]n=1（mn < 0）交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PTQ的角平分線， 則直線l過定點m[]t，0.

二、 追根溯源

1. 廣闊的背景

笛卡爾（1596-1650）認為歐氏幾何“使人在想象力大大疲乏的情況下，去練習理解力”，代數則是“用來阻礙思想的藝術，不像一門改進思想的科學”，于是他“尋求另外一種包括這兩門科學的優點而沒有它們的缺點的方法”，并最終獲得了建立解析幾何的線索.平面解析幾何通過平面直角坐標系，建立點與實數對之間的一一對應關系，以及曲線與方程之間的一一對應關系，從而實現了幾何方法與代數方法的結合，她的研究對象之一就是圓錐曲線的性質.

十五六世紀，由于作畫、作圖的需要而產生了透視法，笛沙格（1591—1661）首先對圖形及其影像的幾何性質進行研究，引入了無窮遠點和無窮遠直線、調和點列等概念，給出了著名的笛沙格定理，逐步創立了射影幾何.射影幾何的內容之一是從極點和極線的視角研究圓錐曲線的性質.

今天，幾何學已經有了十余個分支，它們既相互區別又相互聯系，不斷地發展和完善，交織成一幅絢麗多姿的畫卷.這時，我們無法用簡短的文字述說幾何學的燦爛歷史，卻能以一道高考試題為窗，探視數與形共舞出的奇妙世界.

2.圓錐曲線的極點與極線

關于圓錐曲線的極點與極線，已經證得下列定理：

定理1已知圓錐曲線C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A2+C2 ≠ 0），則點P（x0，y0）和直線l：Ax0x+Cy0y+D（x+x0）+E（y+y0）+F=0是圓錐曲線C的一對極點與極線.

定理2如圖2，P為不在圓錐曲線C上的點，過點P引兩條割線依次交曲線C于四點E，F，G，H，連接EH，FG交于N（當EH與FG平行時，N為無窮遠點），連接EG，FH交于M，則MN為點P對應的極線.則PA、PB為曲線C的切線若P為圓錐曲線上的點，過點P的切線即為極線.

由定理1，在圖中，PN為點M對應的極線，PM為點N對應的極線，故MNP為自極三點形.

定理3若過點P可作圓錐曲線C的兩條切線，A，B為切點， 則直線AB為點P對應的極線；

定理4（配極原則）如果P點的極線通過點Q，則Q點的極線也通過點P.

圖2圖3

3.結論再探

如圖3，由定理1得，點T（t，0）對應的極線為x=-t，設PQ與P′Q′交于點D，由定理2得點D在直線x=-t上，易知四邊形PP′Q′Q為以x軸為對稱軸的等腰梯形，故點D在x軸上.所以D為直線x=-T與x軸的交點，即直線PQ經過定點D（-t，0）.

設直線x=-t交拋物線于A，B，由每個點對應的極線唯一和定理3得，直線TA、TB為拋物線的切線.

三、 試題之美

1.結構對稱

正是依題設所作圖形的“不完整”，使得我們產生“補美”的心理趨向，進而作出圖1，獲得解題突破口.在圖3中，拋物線關于x軸對稱，直線PQ與直線P′Q′、直線TA與直線TB分別關于x軸對稱，且點T與點D關于y軸對稱.而根據定理4得：點T與點D分別在對方的極線上.這些對稱關系通過極點和極線的性質相互聯系，形成整體.德國數學家魏爾斯特拉斯指出“美和對稱性緊密相連”，數學中的對稱，不僅僅是視覺上的和諧，更是一種解題方法，常常使得我們追求整體的秩序井然，進而預見數學結論.

2.結論統一

結論1，結論2，結論3可以推廣為結論4：圓錐曲線C關于其對稱軸對稱的兩條相交割線PQ與順次與圓錐曲線交于點P、P′、Q′、Q，則PQ′與P′Q、PQ與P′Q′的交點分別在對方的極線上且兩點都在對稱軸上.克萊因認為，歐氏幾何是射影幾何的子幾何，在射影幾何的觀點下，平行與相交得到了統一，點與直線地位平等，圓、橢圓、拋物線、雙曲線統一為非退化二次曲線，仿射變換和射影變換可以溝通特殊與一般的關系，常常能幫助我們將中學幾何中特殊的命題推廣到更一般的命題.數學的發展是逐步統一的過程，統一的目的也正如希爾伯特所說：“追求更有力的工具和更簡單的方法”，科學家們試圖用統一的觀點來概括自然、概括宇宙，但自然無限，宇宙無垠，統一美成為一種永恒的追求.

四、解題斷想

視野. 欲窮千里目，更上一層樓. 用高等數學的思想來審視中學數學內容，有利于教師“高屋建瓴”，把握知識模塊之間的深層聯系；從高等數學的觀點探析試題的背景，有利于教師拓廣視角，增強問題探究能力；以高等數學的方法來指導教學實踐，有利于幫助學生跳出題海，提升學習效益.

意境. 數學美在哪里？眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處.通過一道高考試題，我們看到圖形結構的對稱，曲線性質的統一，還有數學方法的異曲同工. 做數學，就是欣賞美，就是在實證探究的基礎上，在悠遠的意境中感悟深邃的數學之美.