淺談本科基礎數學教學中分析與代數知識的融合

徐登明

[摘 要]大學本科基礎數學教學主要包含分析，代數與幾何以及概率與統計三個方面。從實際教學經驗出發，闡述本科基礎數學教學中分析與代數知識融合教學的必要性，通過實例說明這種融合在教學過程中的具體體現，并探討教學中如何實現分析與代數知識的融合。

[關鍵詞]代數 分析 知識融合

[中圖分類號] G642；O15 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2015）04-0117-02

大學本科基礎數學教學主要包含分析，代數與幾何以及概率與統計三個方面。目前國內無論是“高等數學”教材，還是數學專業的數學分析和高等代數課程，基本上都是微積分和線性代數各成一套封閉體系，這使得學生對數學的整體結構缺乏應有的了解[1]，同時也嚴重影響了大學生數學綜合能力的培養。然而，數學本身是一門邏輯性和系統性很強的科學。這就需要我們在教學過程中注重各數學課程之間的相互聯系并進行融合教學，從而讓學生從整體上學習數學知識，構建完整的數學知識體系，真正做到能夠利用數學知識學習其他學科，最終達到利用所學知識解決實際問題的目的。本文根據作者的教學經驗，闡述本科基礎數學教學中分析與代數知識融合教學的必要性，通過實例說明這種融合在教學中的具體體現，并探討如何在教學中實現分析與代數知識的融合。

一、教學中分析與代數知識融合的必要性

（一）數學本身發展的一個明顯趨勢是各學科之間互相滲透、互相促進更為迅速，分析、代數及幾何之間的界線越來越模糊，而它們的共同基礎卻越來越明確。[1]在實際教學特別是數學專業學生的數學教學中，分析與代數的知識并不是孤立的，它們之間有著十分緊密的聯系。比如，分析中出現的很多集合都是代數學中向量空間的例子，例如閉區間上所有可積函數構成的集合就是一個最典型的無限維向量空間的例子，而積分運算就是一個線性映射。另一方面，利用向量空間和線性映射的語言又可以簡化連續函數相關性質的敘述。再比如，在微積分中多元函數這一章節的教學中，利用矩陣的相關知識能讓學生更好的理解可微復合映射的鏈式法則。

（二）后續數學知識的學習離不開分析和代數知識的融合運用。比如，在微分方程這門課的講授過程中，證明線性微分方程解的存在唯一性定理時，要用到數學分析中級數斂散性的知識；而在討論微分方程的解的結構時，又要用到向量空間和線性映射的相關知識。再比如泛函分析課程中內積空間這一章，表面上內積空間是向量空間上多了一個內積，這完全是線性代數的內容。但是，很多內積空間的例子都來自于分析中的相關內容。例如，由閉區間上所有連續函數構成的集合就可以通過定義某種內積使其構成一個內積空間。

（三）在實際教學中強調分析和代數的相互融合，可以讓學生將數學作為一個整體進行學習，從而提高學生的數學素養。同時，在實際教學中，利用兩種不同的知識對同一問題從不同的角度進行分析，這有利于培養學生多元化思維方式。

二、分析與代數知識的融合在實際教學中的體現

在實際教學過程中，有不少問題既可以利用分析的知識解決，也可以利用代數的知識解決，有的甚至還需要同時利用分析和代數知識才能解答。下面我們通過一個例子來說明分析與代數知識的融合在實踐教學中的具體體現。

關于這個例子，我們最先想到的是利用數學歸納法，這種方法高中生都會。但是隨著次冪的增加，要猜想此類數列的通項公式并不容易。下面介紹兩種不同的解法，這兩種方法都可以避免猜想數列的通項公式，同時還能計算出自然數的任意次冪的求和公式。

方法一：借助泰勒展開式求解

在上述兩種解法中，方法一利用了泰勒公式的相關知識巧妙的得到了數列的通項公式，體現了分析課程本身各個知識點之間的緊密聯系。方法二不但涉及了代數課程中多項式，向量空間和線性映射的相關知識，而且還利用了分析中數列和積分等內容，這一方法充分體現了代數與分析知識的有機融合。另外，該例題利用兩種完全不同的方法對同一問題進行解答，體現了風格迥異的兩種思維方式，這對培養學生多元化的思維方式也有著十分積極的作用。

三、實際教學中如何做到分析與代數知識的融合

要做到在教學中實現分析和代數知識的相互融合，筆者認為需要做到以下三點：

（一）教師的數學知識體系必須相當完善。這包括兩個方面：一是需要教師對分析和代數的知識都理解得十分透徹；二是需要教師對數學專業各課程內容都有非常全面的了解。俗話說“要給學生一碗水，教師得先有一桶水”。只有具備這些素質后，教師才能將數學知識作為一個整體進行教學，才能在教學過程中有效融合分析和代數的知識解決實際問題。

（二）必須將分析和代數的知識作為一個整體進行，這就需要合理安排教學順序。現行課程安排分析和代數授課都是獨立授課，無視兩類知識內在邏輯聯系，二者在教學中的相互促進更是無從談起。筆者認為，必須根據分析與代數知識之間的內在關系合理安排教學內容的講授順序。比如，我們可以先講解代數中邏輯，集合映射，群、環、域的基本概念，多項式，向量空間和線性映射的內容，進而在此基礎上講解分析中單變量微積分，然后回過頭來講解代數中矩陣，行列式，內積空間，矩陣的約化等內容，最后講解分析中多變量微積分。這種安排能夠利用代數的知識簡化微積分中一些知識的講解，從而也能幫助學生更好的學習微積分，同時也能體現出代數知識的應用價值。另外，兩種知識交叉教學也有利于學生將分析與代數的知識作為一個有機整體進行學習。

（三）教師可以在教學中多設計一些既能用代數知識解決，又能用分析知識解決，或者需要用同時用到分析與代數的知識才能解決的例子。比如，在講解二階遞歸數列通項公式的求法時，可以利用有限維向量空間的相關知識進行求解；在講解線性微分方程組的求解時，可以舉一些可以利用矩陣三角化或對角化能將方程進行簡化的例子等等。

總之，在本科數學早期教學中，要特別注重分析和代數之間的內在邏輯聯系，將這兩類知識作為一個有機整體進行融合教學，這既能讓學生將數學知識作為一個整體來學習，從而提高其數學素養為后續數學知識的學習做準備，又有利于培養學生的發散思維。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 居余馬.更新工科基礎數學教學內容和體系的一些問題[J].清華大學教育研究，1993，（7）.

[責任編輯：林志恒]