數學靈活解題能力培養淺談

趙桂清

摘 要：闡述了提高初中生數學靈活解題能力的實踐與探索過程以及對實踐過程的反思，主要分以下四個層面展開：正視現狀，結合教學實際，開發探究意向；珍惜“機遇”，整合教學預設，引發解題趨向；尊重個性，吻合解題心理，激發靈感指向；反思總結，符合“理念”標準，開發智能方向。

關鍵詞：探究意向；解題趨向；靈感指向；智能方向

基于實踐探究和理論學的提煉，我們認為在當前新課程標準實施及改革的熱潮中，美國學者斯皮羅（R·J·Spiro）等人提出的認知靈活性理論（Cognitire Flexibility Theory）對初中數學解題教學改革有著極其重要和積極的現實指導作用。我們試圖從心理信息加工的角度解釋靈活性解題的過程，以揭示學生在實際情況中靈活應用知識的心理機制，從而探求出一套“結合實際，整合預設，吻合心理，符合標準”的方法，來培養學生靈活解題的能力。本實踐過程分以下四層展開：

1.正視現狀，結合教學實際，開發探究意向

2.珍惜“機遇”，整合教學預設，引發解題趨向

3.尊重個性，吻合解題心理，激發靈感指向

4.反思總結，符合“理念”標準，開發智能方向

斯皮羅（R·J·Spiro）等提出認知靈活性理論（Cognitive Flexibility Theory）：學習是一個不斷深化的過程。只有對知識形成深層次的理解，才能靈活地解決各種問題。認知靈活性理論不僅反對傳統的機械教學，也反對極端的行為主義教學方式。它主張，一方面要提供建構理解所需要的基礎，同時又留給學生廣闊的建構空間，讓他們針對具體情境采取適當的策略。在我們所接觸的知識中，有規律可循，可以直接套用所學知識的就屬于結構良好領域的知識，如用乘法口訣解數學題。但是，在現實生活中，大多數問題都是沒有確定規律的，這就要求我們利用所學知識，結合問題情境，建構新的理解方式和解決方案。斯皮羅（R·J·Spiro）等提出的認知靈活性理論（Cognitive Flexibility Theory）繼承了建構主義理論中關于學習的觀點，重點解釋了如何通過多維理解的深化促進知識的靈活遷移應用。

一、正視現狀，結合教學實際，開發探究意向

本人從教十二年，一直身臨教學第一線。近幾年發現，我校數學青年教師雖然備課比較認真，程序清楚，且有一定的篇幅，但備課程序千篇一律，教師用自己組織的語言極少，多數教師的教案預設單一，缺乏靈活性解題的意識和策略。下面是一個從教兩年的青年教師備一堂習題課中一道例題的教案。我們從中可以看出其備課（預設）的質量究竟如何？

案例一：解法單一

如圖1，已知AB是⊙O的直徑，線段MN切⊙O于點P，AD⊥MN于點D，BC⊥MN于點C，求證：AB=AD+BC。

教師講解：連結OP

事后我同這位青年教師交流，問她對這道題是否預設過多種解法，這位小老師紅著臉羞愧地對我說：“某老師，因為這道練習題我在備課時患了感冒，所以只是做出一個答案就去講課了。”我追問：“那么，你事后有否思考過究竟有幾種方法，并且最簡單的為哪種？”小教師只是微笑搖頭……

為引起青年教師的重視，我并沒有指責小老師，而是以此題為教材，同青年教師一起學習了習題的重要性和靈活解題的必要性。習題作為課本的有機組成部分之一，蘊藏著豐富的內涵和背景，教學中若能充分挖掘課本習題的潛在功能，進行一題多解和一題多變，定會收到事半功倍的教學效果。其實，以上習題共有七種解法：（其他六種見下圖）

以上六種情況的思路分析為：①圖2先證矩形，再證OP是三角形的中位線。②圖3為證明兩組三角形全等。③圖4先證四邊形為矩形。④圖5先證四邊形為平行四邊形。⑤圖6先證OP為三角形的中位線，再證兩個三角形全等。⑥圖7先證AD∥OP∥BC。

[討論反思]縱觀以上七種解法，證實在認知靈活性理論的指導下，每種思路都各具特色，涉及的知識點有平行截割定理、全等三角形、直角三角形、梯形的判定或性質、圓的切線性質、弦切角等知識，很顯然，通過一題多解，學生思維的廣闊性、深刻性、靈活性大有長進。

案例二：思維僵持

有一次教師引用了2002年杭州市中考數學試題作為訓練題：

時鐘在8：30時，時針與分針成（ ）度角。

這是一道典型的實際問題的試題，據錢江晚報報道，該題杭州市考生的錯誤率達33.4%。該教師見報后，隨即讓初一的學生做這道題，錯誤率達50%，這么簡單的一道題，錯誤率卻如此之高，究其原因：其一，學生缺乏生活經驗；其二，“動態生成”知識與能力成現實問題。多數學生認為：分針在“6”，時針在“8”時，就急切地認為是60°，忘了8時30分，時針轉到8和9中間，所以是60+15=75°。

事后教師在課堂上問做錯的同學為什么會錯，有一位同學真切地說：“老師，這道題我主要是沒有再想一想，急于求成的緣故。”

針對以上兩個案例，我們深切地反思：在農村初中大多數學生因受知識面、學習心理及學習環境的影響，思維的靈活性較差，這主要是由于我們教師在平時教學時沒有靈活解題的意識和指向性訓練。為轉變現狀，我以靈活性理論為指導，在本校的數學解題教學中給學生注入“靈活的激素”，讓學生的解題過程滋生活力和生機。

二、珍惜“機遇”，整合數學預設，引發解題趨向

數學產生于實際問題，經抽象、概括、演繹不斷發展。目前我們農村初中的數學內容與新課程標準的理念相差甚遠。新課程的基本理念中指出：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的，富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動。”這就要求我們農村初中教師從學生的已有經驗出發，教學中創設有感染力的真實事件與真實問題。讓學生在現實世界的真實環境與意境中去感受、去體驗、去生成知識與靈活地解答數學題的能力，但事實上，我們的老師在這方面做得太少了。所以我們于2003年開始，要求自己在設計題目、預設解題方法時，要努力設計出靈活多樣、新穎精悍、妙思巧解的經典題、情景題和壓軸題，具體做到：（1）把數學知識“鑲嵌”于真實的解題情景中，使數學知識具有向心力、親和力。（2）把解題教學過程“融入”日常活動的意境之中，激發學生靈活思考，尋找多種思路，提高學生靈感思維和創造思維能力。

在具體實踐中，我們要求自己和有意愿實踐的數學教師在預設數學題內容時求新、求活。

1.求新——提供新鮮的信息，激發解題生機

題材新：為了激發興趣，可根據數學內容，設計一些符合學生愛好的新題。如在教學一元一次方程的應用時，我們布置了這樣一道題：

在2014年全國足球甲級A組的前九輪比賽中，大連萬達隊保持不敗，共積分25分，按比賽規則：勝一場得3分，平一場得1分，問該隊共勝了幾場球？

這種短小精悍的新題，難度不大，可使一些“足球迷”即興求解，從而以這樣的新“產品”，以新引思，以新促思，以新成思。

2.求活——挖掘題目本身內在的力量，注入解題的活力

（1）思維方法活：如在解圖形題時，根據課本習題，可故意隱去一些結論，讓學生去解答、猜想、證明，迎合學生希望自己是一個發現者、探索者的欲望，給他們創設一種“探索”的感受意境，使其在解題中感到樂趣無窮。

（2）思維成果活：在解決實際問題時，為學生創造開放的問題條件，從而獲得不同的符合條件的結論。使不同層次的學生都有機會參與解題，讓學生在自由寬松的課堂氛圍中，或自主探索，或合作交流，去收獲他們的參與成果。

杭州學軍中學聞杰老師觀摩課的再現：

現有各種形狀的公園若干個（如下圖），正多邊形公園的各個頂點處均設置有各具特色的亭子，現要在公園內設計道路，使從每一個亭子出來可以走到任意另一個亭子（不經過其他亭子），并且道路要盡可能短，哪家公司設計出的道路最短，哪家公司就中標。現在你們就是設計人員，可以自由組合成設計公司，比一比誰的公司會中標。

在本案例中，學生沒有現成的題目可以模仿，也沒有現成的方法可以利用，只是問題的條件開放，結論也不唯一。因此可以吸引人人參與，只要根據自身的經驗去設計，都有自己的方案。如圖，在眾多的設計中只有少數是中標的。當然最主要的還是學生自主地去比較，去發現，去感悟，其實垂直不一定是最短的，對角線也不是最短的，最終通過實驗、探究、對比，才能歸納出解決的策略，從而使問題的思路明朗化，學生的思維沿著不同的方向展開，最終得到不同的答案。

三、尊重個性，吻合解題心理，激發靈感指向

在指導學生實際解題過程中，時常受知識面、心理環境、思維能力等因素的影響，使解題思維受阻，我們就從分析解題思路入手，靈活求變求解，明確轉化求解，親歷動手求解等方法，盡快使思維走出困境，以下是三點處理策略。

1.改變形式，靈活多變

靈活性原則要求在編選例題時，要注意題目解法的多樣性、思維方式的多面性和題目的多變性，通過這種題型的訓練，使學生具備靈活應變能力。

以應用題為例，題目中的呈現形式以單純的文字為載體，把條件與問題呈線性排列。而現實可能是表格式、圖畫式等這些二維或多維的呈現形式。因此，教師要根據教學內容在現實生活與生產中可能的呈現形式，進行適當的改編。

如：在教學以下題目時，我們可以把題目的情景變換一下，把解題的內容與生活內容相融合，把二次函數的應用轉化為相應的數學問題，學生得到的是實際問題和數學問題的雙向轉化訓練，學生形成的是實在的數學意識，這樣運用鮮活的題材、靈活的解題方法，備受全體學生的青睞。

有一拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度是16m，跨度為40m，現把它的圖形放在坐標系里（如圖所示），若在離跨度中心M點5m處垂直豎立一鐵柱支撐橋拱，問這鐵柱有多高？

2.改靜為動，孕育靈犀

近幾年來，有的數學題應該用運動變化的觀點，才有解題“靈犀”。

如圖，在直角坐標系中，點O′的坐標為（2，O），⊙O′與x軸交于原點O和點A，B、C、E三點的坐標分別為（-1，0），（0，3），（0，b），且0

（1）求點A坐標和經過B、C兩點的直線的解析式。

（2）當點E在線段OC上移動時，直線BE與⊙O′有哪幾種位置關系；并求出每種位置關系時b的取值范圍。

解：（1）易見A點坐標為（4，0），直線BC的解析式為y=3x+3

說明：從運動變化的觀點來尋求結論成立的各種情形是探索性題型的一個重要特征，也是必須掌握的一種數學思維方法。

3.改變路徑，捕捉靈感

在教學中我們常常發現由于學生對課本知識的片面理解，在解決問題時僅憑直覺或經驗，而習慣于照搬照抄，更嚴重的是由于缺乏具體實踐，在碰到實際問題時往往抓不住本質而無從入手。對如何促進學生靈活性解題進行了有益的嘗試和探索。

如：最短路徑問題研究。

問題情境：在一筆直運河t的河岸同側有兩村莊A、B，它們相距5km，它們距河岸分別為3km和7km，現在河邊修建一抽水站需8.25萬元（含設備購置和人工費），管道及鋪設費為每米24.5元，為使費用最少，抽水站應建在河岸邊何處，費用為多少？

生1：（搶先站起來）兩點之間線段最短，只要作出A關于直線t的對稱點A′，再連結A′B，設A′B與直線t的交點為點C，在C處修建抽水站費用最省。

師：費用是多少？

生1：我還沒算過，不太好算。（同學們哈哈大笑，都鼓掌表示贊同）

師：有算出來的嗎？（學生開始畫圖，或同桌、或前后開始討論）

生2：老師！我們認為那樣作并不是最短的。我們過A點作t的垂線，垂足為D，AD+AB好像短一些，我們測量過。（又是一陣大笑）

師：真的嗎？你們的想法不錯！請每個同學都算出其中一種作法的結果。

生1：用作對稱點的方法結果為AC+BC=km，約是10.44km。

生2：用作垂線的方法我們也算出來了：AD+AB=8km。

師：真的要短一些呀！

生2：作垂線要少用約59.78元，總費用約為82559.78元。我們贏了！

“不可思議！”“怎么會這樣？”……

師：作垂線的同學是怎么想到的？

生2：上次我們家翻修水管時我去看過了，水管多數是從一戶家庭到另一戶家庭，并不都需要與自來水廠直接相連。

師：不錯！其實我們學過找最短路徑的方法也不少，但是數學知識與方法有它們的適用范圍，希望同學們多觀察生活中的事物，并做到靈活應用所學知識。

生：（齊聲）好！

師：剛才同學們都表現得很好。下面再看一個問題：A、B兩村莊在運河兩岸，相距11.8km，且距離河岸分別為8km和3km，河寬100米。為節省資金，河上鋪設段應與河岸垂直，修建抽水站與管道鋪設費用同上。問抽水站應建于何處費用最少，最少費用為多少？

在一段時間的沉寂后有學生開始畫圖了，而且這么做的同學很快多起來，有的還自發地組在一起討論。

生1：連接AB，再找被河兩岸所截線段的中點，過這點畫垂線就可以找到。

師：你確定嗎？

生1：我只是想到這個方法，不知道行不行。

師：你的想法很大膽，請先試試。還有不同想法嗎？

生2：我們按比例畫出河流，定出兩村莊位置，然后取了幾個點，記錄相應位置與相應路徑的長度，大致找出了位置，但沒看出有什么特別。

生2：我們用皮筋試過了，也找到了位置。看來看去，好像平行。

師：是嗎？怎樣才能說明你們是對的呢？

生2：還沒想好。

生3：老師，我們這里有高手，他說可以試一試。

師：好啊！請到前面來，讓同學們見識一下高手。（此生畫好圖，很快找到修建地點）

生3：是平行的時候吧！

師：是AA′∥BB′的時候嗎？誰能用所學知識進行解釋？……

問題解決后，學生的學習熱情空前高漲，他們希望今后的各學科都采用這樣的教學方式。其實學生是在不知不覺中體驗了科學研究的一般過程，從中體現了自身的價值。在學生興奮之余，我要求各小組將本次活動作一次總結，并相互交流，說說本次活動中所遇到的困難以及積累了哪些經驗與收獲，為今后活動做準備。

通過本次活動的成功舉行，啟發學生要多觀察社會，了解社會，并努力用所學知識去解決現實生活中的問題。只有這樣才能鍛煉自己的能力，體現自己的價值，并從中提高實踐能力，培養創新精神。

[反思感悟]從教十二年，課本改革的頻率大約是每4～5年進行一次，所以我已經歷了兩次改革，以往的改革呼聲挺大，力度甚小，真可謂是“雷聲大，雨點小”，但唯有這兩次新課程改革且是“雷聲大，雨點也大”。經過多種渠道的培訓、多樣刊物的學習、多層理論的指點，我深切地感受到，農村初中的數學教學斷然不能停留在傳統的“說教”方法上，而應當進行研究性學習、探究性學習、體驗性學習和實行靈活性解題……實現學習方式的多樣化。

幾年來，通過廣泛深入的理論學習和活動開展，在眾多師生的參與下，學生不僅提高了問題意識，培養了合作精神與靈活性意識，更重要的是加深了對社會的了解，形成了一種對現實社會的憂患意識和社會責任感，同時教師也從中開闊了視野，更新了教學觀念，對我校數學教學質量的提高起到了舉足輕重的作用。

以下是（一般或較差學生）運用靈活性理論進行研究性學習的具體事例。

[鏡頭1]在一次用求根公式解答應用題的課堂巡視中，有這樣一道題：

浙江工業大學招生人數在兩年內從3000名增加到3630名。求浙工大招生數平均每年增長百分之幾？

題目一出來，全班同學伏案疾書，幾個逞強的學生示意已做好了，我俯身看了好幾名學生的，隨后等大多數學生都完成了，附解法：

在課堂上我問同學：你能把100（1+x）2=121直接開方嗎？

學生：啊！我怎么這樣糊涂。我回憶起來，當時我一看到這題就認為用公式法解比較牢靠，所以沒有先去開方。

從以上解答過程和上課回答情況看，我們農村學生對所學法則、公式記憶比較準確、熟練，對一般解題程序也比較清晰，有一定的“套路”，但對解題靈活性方面缺乏意識和認識，總喜歡按部就班，常走彎路、偏路，花費時間多，學習效率差。

[鏡頭2]有一長AB=3，寬BC=2，高CC′=4的長方體ABCD-A′B′C′D′，在A處一只蜘蛛想要去吃C′處的一只蒼蠅的最短路徑是多少？

我嘗試不作講解，而是先出示題目，要求學生分組討論。

學生甲：沿AB′→C′的路徑最短，為5+2=7。

學生乙馬上說：我認為過AHC′路線最短。

我不動聲色地問：為什么？

學生乙：根據兩點間線段最短，我想把正方形A′B′C′D′豎起來，使它和長方形ABB′A′在同一平面上，如圖乙，則AC′就是最短的，它的長度為，學生的思維終于突破了常規的想象，我不由大聲叫好。卻不料又有一學生站起來說，我認為過AGC′更短，如圖丙，最短長度是，大家紛紛叫好，我又因勢利導，讓學生分析，如果AB=a，BC=b，CC′=c，則沿長方體表面A到C′的最短距離是多少。學生通過討論計算，歸納總結得，當a最大時，最短距離是，當b最大時，最短距離是，當c最大時，最短距離為。

這使我深深地體會到，學生的靈活性只有在自由寬松的課堂教學氛圍中才能發揮，一言堂的課堂教學結構絕對是靈活性思維的殺手。

針對上述問題不難看出，在我們農村初中學生中，對認知靈活性的認識和運用確實比較膚淺。就連教師也缺乏意識，這正印證了美國學者斯皮羅（R·J·SpiFO）等人提出的認知靈活性理論（Cognitire Flexblity Theory）在我們數學解題中的重要性。

四、反思總結，符合新課程標準，開發智能方向

經過實踐發現，我們的活動具有可行性和實效性，同時也印證了以下理論和理念的正確性。

第一，印證了認知靈活性理論所蘊含的原則的正確性

1.廣泛性原則

在教學活動中使用多種方法表征知識，如多種模式、多種類比或多種角度等，以使更準確地反映復雜知識的多種特性。

2.靈活性原則

強調在多種背景中揭示知識的相互關聯性和網絡性，使學習者對復雜的內容領域形成豐富而靈活的理解。

3.多樣性原則

在某一應用或問題解決任務中促使學習者組裝相關的抽象概念與個體案例知識，這意味著教學必須不止一次地涵蓋內容，必須使學習者觀看概念的大量實例，考察概念意義的多樣性，從而達成較為全面的理解。

第二，符合“社會建構主義”理論

首先，建構主義學習理論認為，學習者知識的獲取不是通過教師傳授得到的，而是學習者在一定的情境下，借助他人（包括教師和學習伙伴）的幫助，利用必要的學習資料，通過意義建構的方式而獲得。也就是說，學習者是信息加工的主體，是意義的主動建構者。

建構主義強調以學習者為中心，把“情境”“協作”“會話”“意義建構”作為學習環境中的四大要素。強調學習環境中的情境必須有利于學習者建構有意義的情境，使學習者真正進入教學的真實情境，通過學習者的協作，對學習資料的搜索與分析探究，提出問題，提出設想和進行驗證，發現規律以及對某些學習成果的評價。在這個過程中，同時強調組織學習者運用語言和文字向他人表述，讓每個學習者的思維智慧為整個學習群體所共享，從而實現意義建構的最終目標，對學期內容有深刻而全面的理解和掌握。

其次，數學問題解決模式符合人類的一般認識過程，即從個別到一般再到個別，從具體到抽象再到具體，從感性到理性再到感性，培養學生洞察生活的能力，在理性與感性的互相包容中體會到了數學的價值。

再次，符合學生認知的心理過程。

最后，符合數學本身的特點。

第三，符合新課程標準理念

實踐證明，我們的實踐探究符合新課程標準的要求，數學新課程標準指出：義務教育階段的數學課程，其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展。幾年來，印證了我們的解題教學實踐是符合新課程標準倡導的方向及理念的。

在實踐中我們也獲得了一些成效和感想，具體表現為：

1.有利于提高學生學習數學的興趣和教學質量

幾年來的數學嘗試使學生不僅對學習數學產生了濃厚興趣，而且數學教學的質量也得到明顯的提高。如學生吳xx、沈xx，雖然參加活動時間尚不長，但其解題能力有了很大的提高，兩人均獲得了片競賽一等獎，如今正蓄勢待發，準備取得更好的成績。本人從教12年，每學期任教的兩個班數學在平均分、及格率及后三分之一方面明顯優于區常模，位居學校前列，由此可見，采用較為靈活的教學方法，克服傳統的題海戰術及應試教學，已被眾多學生認可。

2.有利于提高學生運用數學知識解決實際問題的能力

幾年的教學實踐證明，通過對學生解題靈活性的培養，學生逐漸能將實際問題數學化，通過已學的知識，建立問題的數學化模型，能依據解決問題的一般研究步驟及原則，去完成一個在課本上無法找到現存解決方法的實際問題，培養了學生的創新意識和開拓精神，提高了學生適應社會的能力。積極參與競賽輔導，所帶學生在2010年至2012年的全國華杯賽中獲一等獎的6人，二等獎9人，三等獎14人。

3.有利于提高學生研究解決數學問題的自信心

實踐表明，通過對靈活解決實際問題的一般步驟的訓練與指導，提高了學生解決數學問題的能力，學生對待實際問題在心理上具有較大的承受力，從而增強了用數學知識和方法解決實際問題的信心和決心，使他們進一步感受到數學的真正樂趣，更加喜歡數學。

綜上所述，授人以魚，不如授人以漁。在斯皮羅（R·J·Spiro）等人提出的認知靈活性理論（Cognitire Flexibility Theory）指導下，科學靈活地培養學生的數學解題能力，無論對于學生數學思維方式的形成，還是學生的終生發展都具有實踐意義。

參考文獻：

[1]孫曉天.新課程理念與初中數學課程改革.東北師范大學出版社，2002.

[2]諶業鋒.有效教學的理念與策略.四川省涼山州教育科學研究所，2006.

？誗編輯 趙飛飛