巧用畫板工具促使情境問題數學化

李日松

《普通高中數學課程標準（實驗）》在“課程的基本理念”中倡導創設體現數學文化、積極主動、勇于探索的學習方式，而畫板工具與數學知識的整合使學生在“玩中學數學”成為可能.

為了解當前高中數學情境性問題的現狀，特設計調查問卷，受測對象為一級達標校普通班學生，樣本容量為50人.通過數據分析，64%認為老師在教學過程中偶爾使用或者一般不用問題情境來輔助教學.對“知識的記憶是否依托于情境”有80%認為與教師授課時引用的情境有關.在“教師講述的情境屬于哪種類型”中，30%認為是模擬型情境，而學生對此并不是很感興趣；32%認為因為進度問題教師給出的是純數學例題；真正與學生現實生活相關的只占27%.究其原因，主要是教師本身對此類知識的匱乏.

畫板工具對情境創設的必要性可從兩個方面來看：從數學本質上看，數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學.數學理論是通過人們自身數學活動，從已有數學對象及關系出發而產生的，但數學的抽象性成為數學難學的一個重要因素，而數與形是研究問題的兩個側面，把數量關系與空間形式結合起來去分析、解決問題從而易于學生理解掌握.從數學教學本質看，數學教學是以學生已有知識和經驗為基礎的主動建構的過程.教師的任務是對數學知識建構進行設計和組織，把書本的內容轉變為具有探索性的數學問題，并將這些問題置于學生的“最近發展區”，而畫板工具即可為情境問題數學化創造舞臺.

下面結合四個教學案例來具體呈現畫板工具在高中數學人教版A版必修2創設情境中的應用：

1.巧用幾何畫板“軌跡”按鈕，探究數學概念本質

案例1 習題4.2 A組4題：求圓心在直線x-y-4=0，并且經過圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0交點的圓的方程.

此題傳統方法是先求兩圓交點，再利用弦的中垂線過圓心與已知直線方程聯立求出圓心坐標，進而求出圓的方程.如何讓學生理解圓系方程呢？為了突出圓系方程的一般性，利用畫板工具構造兩個相交圓，兩圓的一般方程分別為x2+y2+D1x+E1y+F1=0及x2+y2+D2x+E2y+F2=0，通過幾何畫板教師可以現場操作：分別畫出以-D12，-E12為圓心、D21+E21-4F12為半徑及以-D22，-E22為圓心、D22+E22-4F22為半徑做圓.根據恒過兩圓交點（定點）的圓，其圓心必在弦的中垂線上，并以中垂線上任意一點為圓心、定點為半徑做圓，追蹤圓的軌跡拖動圓心，就可以得出上圖所示的

定點的一些列圓.學生不禁感嘆圓系方程的美，教師因勢利導給出圓系方程的一般形式，學生在探究中真正把握了圓系方程的本質.教師還可引導學生思考λ=-1時，觀察分析求出的直線方程與相交圓公共弦的關系，體現了數形結合的思想，充分體現了以學生為主體、教師為主導的課堂教學原則.

2.善用幾何畫板“動畫”按鈕，突破數學難點

案例2 習題4.2 B組3題：已知圓x2+y2=4，直線

l：y=x+b，當b為何值時，圓x2+y2=4上恰好有三個點到

直線l的距離都等于1？

此題直接求解并不容易，利用幾何畫板創設該題的問

題情境：分別構造兩條直線l1：y=x+b+1及l2：y=x+b-1，將三條

直線隨著b的變化分別平移探究l1和l2與圓的交點之和，從

整個平移過程知b有兩解，再利用方程組聯立即可求解.

教師引導學生探究平移過程l1，l2與圓相交的幾何意義，充分培養了學生的分類討論、數學結合及轉化思想.

3.善用英壬畫板空間旋轉，多角度呈現空間立體

案例3 直線與直線的位置關系中異面直線的定義.

按照異面直線的定義：不同在任何一個平面內的兩條

直線叫作異面直線.由于觀察角度的限制很多學生對異面

直線很難理解，應用英壬畫板通過旋轉空間，讓學生從不同角度感受、體會異面直線，從活動中培養學生的空間想象能力.

對于高中數學來說，由于高中教學進度的現狀使得教師走向了兩極化：一方面，在大多數課堂中缺少情境，每堂課都從抽象的概念出發，使得學生學習數學的興趣日益下降，班級數學成績成兩極化；另一方面，教師在課堂中雖引用了情境但情境為“一次性消費”，對數學知識的本質并沒有給出很好的過渡，即由“現實世界”向“數學世界”（特萊弗斯稱之為“橫向數學化”）進而向“數學體系”（ 特萊弗斯稱之為“縱向數學化”）過渡時存在“斷層”.現實數學教育的出發點是將情境性問題作為學生再創造的依托，而有指導的再創造能為學生提供一種跨越非形式知識和形式數學知識間鴻溝的方法，幫助學生逐漸掌握形式數學.在利用畫板工具輔助教學時，不可避免涉及多媒體輔助教學與傳統教學的沖突問題.本人覺得兩者是可以和諧存在的，但需注意以下幾點：

1.因課而異，合理選擇軟件

在平面領域幾何畫板及GGB軟件是這方面的“巔峰之作”，而空間幾何則是英壬畫板的長項，對于概率中的圖形等Office辦公軟件、GGB即可完成.但對于學生必須要掌握的解題、畫圖步驟等知識（如平面的畫法），還需教師親自板書、畫圖.

2.充分發揮學生主體、教師主導作用

畫板工具輔助教學不應只是教師展示多媒體的過程，如果條件合適完全可以讓學生在教師引導下，通過學生上臺改變畫板工具的自變量進行自主探究，這也是畫板工具與傳統PPT課件最大的區別.

3.因學生而異，合理修飾課件

課件選擇、制作需因學生、班級而異，根據學生認知水平的差異，合理引用情境，合理裝飾課件.

4.加強畫板工具培訓、共享、交流，減少教師備課工作量

目前盡管PPT及隨書課件的資源很多，但由畫板工具生成的備課資源還較少，并且供交流的平臺也不多，而初次利用畫板工具設計教案費時費力，這也是限制廣大中學教師運用畫板工具的瓶頸.因此，加強畫板工具的培訓、共享、交流擺在當前現實的位置.

畫板工具作為數學多媒體輔助教學的重要部分，受到越來越多中學教師的關注，在實際教學中合理、適當選擇畫板工具并與傳統認知工具相補充、結合變得越來越重要.只要把握好多媒體輔助教學的“度”，完全可以在數學化的情境中學習數學，讓學生感到“數學好玩”.

【參考文獻】

[]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2011.

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[3]張小兵.幾何畫板創設數學情境的研究[D].江蘇：南京師范大學，2005.