基礎(chǔ)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用

摘要：用數(shù)學(xué)方法和運(yùn)算來(lái)分析求解經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題已成為當(dāng)今社會(huì)研究的主流，數(shù)學(xué)的引入，給經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了無(wú)窮無(wú)盡的靈感。越來(lái)越多的研究表明數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中具有不可替代的地位，對(duì)促進(jìn)經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展起到了重要的作用。本文簡(jiǎn)要闡述了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的實(shí)際意義和作用，舉例分析了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的幾個(gè)實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用中具有一定的局限性，希望引起廣大經(jīng)濟(jì)學(xué)研究者重視，以期在以后的經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中能更好更靈活地發(fā)揮數(shù)學(xué)的作用。

關(guān)鍵詞：基礎(chǔ)數(shù)學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué) 應(yīng)用

1 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的意義與作用

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用是源于市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，隨著我國(guó)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)定量分析經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的種種問(wèn)題，已成為經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中一個(gè)重要的組成部分。根據(jù)分析人士的計(jì)算，從1969年到1998年近30年間，就有19位諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的獲得者是以數(shù)學(xué)作為研究的主要的方法，而這些人占了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的63.3%。其原因主要是“數(shù)學(xué)”在經(jīng)濟(jì)理論的分析中有著尤為重要的作用，其主要作用有以下幾點(diǎn)：

①運(yùn)用精煉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言陳述經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中的假設(shè)前提條件，使人一目了然。

②運(yùn)用數(shù)學(xué)思維推理論證經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的主要觀點(diǎn)，使條理更加清晰，邏輯性更強(qiáng)。

③運(yùn)用大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)讓論證得出的結(jié)論更具有說(shuō)服力。

2 常見(jiàn)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的具體運(yùn)用舉例

2.1 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)

“函數(shù)”是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最為基本的概念之一，是現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間的依存關(guān)系在數(shù)學(xué)中的完美映襯，也是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象。現(xiàn)實(shí)世界中一切事物都在一定的空間運(yùn)動(dòng)著，對(duì)種種不同量的假設(shè)與推測(cè)，是許多科學(xué)理論的中心問(wèn)題。在經(jīng)濟(jì)分析中，對(duì)成本、價(jià)格、收益等經(jīng)濟(jì)量的關(guān)系研究，就要用到基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方法，來(lái)構(gòu)建該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，找出該問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系。常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)有：?jiǎn)卫c復(fù)利、多次付息、貼現(xiàn)、需求函數(shù)、供給函數(shù)、成本函數(shù)、收入函數(shù)、利潤(rùn)函數(shù)等等。

2.2 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)

“導(dǎo)數(shù)”是函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比，在自變量改變量趨于零時(shí)的極限。它是純粹從數(shù)量方面來(lái)刻畫(huà)變化率的本質(zhì)的，反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度。在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)用到變化率的概念，而變化率又分為平均變化率和瞬時(shí)變化率。平均變化率就是函數(shù)增量與自變量增量之比，就像我們經(jīng)常用到的年產(chǎn)量的平均變化率、成本的平均變化率、利潤(rùn)的平均變化率等等。而瞬時(shí)變化率就是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，即當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)平均變化率的極限，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中被稱為邊際函數(shù)。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見(jiàn)的邊際函數(shù)有：邊際成本、邊際收益、邊際利潤(rùn)、邊際需求等等。

在我們的邊際分析中，討論的函數(shù)變化率與函數(shù)改變量均屬于絕對(duì)數(shù)范圍內(nèi)的討論。在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，僅僅用絕對(duì)數(shù)的概念是不足以深入問(wèn)題并分析透徹的。例如：A商品每個(gè)單位價(jià)格為10元，漲價(jià)1元；B商品每個(gè)單位價(jià)格為100元，也漲價(jià)1元，兩種商品價(jià)格的絕對(duì)改變量都是1元，哪個(gè)商品的漲價(jià)幅度更大呢？我們只要用它們與原價(jià)格相比就能獲得答案。此時(shí)我們就有必要討論函數(shù)的相對(duì)改變量與相對(duì)變化率，也就是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“彈性概念”。而常見(jiàn)的彈性函數(shù)有：需求彈性、供給彈性、收益彈性等等。

對(duì)于商家來(lái)說(shuō)，進(jìn)行邊際分析和彈性分析是非常必要的，商家如果離開(kāi)邊際分析而盲目生產(chǎn)，就會(huì)造成資源的極大浪費(fèi)；商家如果離開(kāi)需求與價(jià)格的彈性分析，就不可能達(dá)到利潤(rùn)的最大化。這時(shí)候就要用到導(dǎo)數(shù)，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)是邊際分析和彈性分析的最有力的工具，可以給決策者提供客觀的、精確的數(shù)據(jù)，進(jìn)而做出比較合理的決策。

2.3 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最值

在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題，怎樣才能使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效益最高”等等。這樣的問(wèn)題在數(shù)學(xué)中有時(shí)會(huì)歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題。例如：在分析收入最大化與利潤(rùn)最大化的過(guò)程中，假定價(jià)格不變的情況下，產(chǎn)量最大就會(huì)形成收入最大的局面，但是，收入最大時(shí)的產(chǎn)量不一定產(chǎn)生最大的利潤(rùn)。而產(chǎn)量為多少時(shí)才能取得最大利潤(rùn)，就需要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。利用導(dǎo)數(shù)解決最值問(wèn)題的步驟是：求一階導(dǎo)數(shù)，找出可能取得最值的點(diǎn)（包括駐點(diǎn)、一階導(dǎo)數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)），再計(jì)算各點(diǎn)的函數(shù)值，對(duì)其進(jìn)行比較，哪個(gè)最大就是最大值哪個(gè)最小就是最小值。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見(jiàn)的最值問(wèn)題有：最大利潤(rùn)問(wèn)題、最大收益問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)批量問(wèn)題和最大稅收問(wèn)題等等。

2.4 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的積分

“積分學(xué)”是微分學(xué)的逆運(yùn)算，積分學(xué)的主要經(jīng)濟(jì)應(yīng)用是對(duì)已知的邊際函數(shù)求積分，得出總經(jīng)濟(jì)量函數(shù)。定積分是求原函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)的改變量，是積分學(xué)中的重要概念之一，它在自然科學(xué)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常用改變上限的定積分來(lái)討論總經(jīng)濟(jì)量函數(shù)問(wèn)題。如某商品的價(jià)格p是銷售量x的函數(shù)，此時(shí)我們要想計(jì)算當(dāng)銷售量從a變動(dòng)到b時(shí)的收益，就需要用到定積分的計(jì)算方法。

2.5 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的微分方程

為了研究經(jīng)濟(jì)變量之間的聯(lián)系及其內(nèi)在的規(guī)律，常常需要建立某一經(jīng)濟(jì)函數(shù)和經(jīng)濟(jì)變量的導(dǎo)數(shù)所滿足的關(guān)系式，由此而確定所研究的函數(shù)關(guān)系，從而根據(jù)一些已知的條件來(lái)確定該函數(shù)的表達(dá)式。以上一套套路，從數(shù)學(xué)上說(shuō)，就是建立微分方程并求解微分方程。具體步驟如下：在相關(guān)的背景知識(shí)下，用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)描述經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的變量和參數(shù)之間的關(guān)系，從而建立微分方程；根據(jù)具體問(wèn)題適當(dāng)?shù)恼{(diào)整假設(shè)使建立的微分方程，盡可能地使其接近實(shí)際，這樣可以相對(duì)的減小誤差；運(yùn)用已知的條件和測(cè)量的數(shù)據(jù)，對(duì)所建的微分方程中的參數(shù)給出相應(yīng)的估計(jì)值；繼而分析比較方程中的結(jié)果與實(shí)際觀測(cè)之間的差異，若結(jié)果與實(shí)際情況基本一致，說(shuō)明建立的微分方程符合實(shí)際問(wèn)題，接下來(lái)就可以將它應(yīng)用于對(duì)實(shí)際問(wèn)題的進(jìn)一步分析或者預(yù)測(cè)中；如果微分方程結(jié)果與實(shí)際觀測(cè)不一致，就需要重新檢查方程在哪出現(xiàn)了問(wèn)題，以便對(duì)方程進(jìn)行調(diào)整修正，再重復(fù)前面的過(guò)程直到建立出一個(gè)經(jīng)檢驗(yàn)符合實(shí)際問(wèn)題的微分方程為止。微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用主要有：分析商品的市場(chǎng)價(jià)格與需求量（供給量）之間的函數(shù)關(guān)系、預(yù)測(cè)商品的銷售量、進(jìn)行成本分析、凈資產(chǎn)分析、國(guó)民收入與儲(chǔ)蓄、投資的關(guān)系分析等等。

3 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用中的局限性

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是分析問(wèn)題解決問(wèn)題的一種方法，也是一個(gè)計(jì)算工具，它可以把實(shí)際問(wèn)題抽象化。而經(jīng)濟(jì)學(xué)重要的是經(jīng)濟(jì)思想。基礎(chǔ)數(shù)學(xué)只有在經(jīng)濟(jì)理論的合理框架下去研究分析問(wèn)題才能發(fā)揮它的實(shí)用性。因此，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用要時(shí)刻注意以下幾點(diǎn)：

3.1 經(jīng)濟(jì)學(xué)不僅僅是數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)單疊加，不能把經(jīng)濟(jì)學(xué)中的數(shù)字隨意的數(shù)學(xué)化，在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的時(shí)候要充分考慮到經(jīng)濟(jì)學(xué)作為社會(huì)科學(xué)的一個(gè)分支，會(huì)受到多方面的影響（如制度、法律、道德、歷史、社會(huì)、文化等等）。

3.2 經(jīng)濟(jì)理論的發(fā)展要有自己獨(dú)立的研究角度，只有從經(jīng)濟(jì)學(xué)的本質(zhì)出發(fā)，分析、研究現(xiàn)實(shí)生活中的經(jīng)濟(jì)規(guī)律，才能得到較為準(zhǔn)確的結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，在一定條件的假設(shè)基礎(chǔ)上，輔之以適合的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)運(yùn)算，才能解決實(shí)際生活中出現(xiàn)的一些經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。

3.3 運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析研究經(jīng)濟(jì)學(xué)中出現(xiàn)的問(wèn)題不是唯一的道路，數(shù)學(xué)知識(shí)也不是萬(wàn)能的，它只是研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的工具之一。要根據(jù)具體的問(wèn)題，靈活地與其他學(xué)科（如物理學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域）相結(jié)合，不要過(guò)分地依賴數(shù)學(xué)，否則會(huì)導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)問(wèn)題研究的單一化，從而不利于經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展。

總的來(lái)說(shuō)，用數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)分析求解經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題，已經(jīng)成為當(dāng)今社會(huì)研究的主流。而個(gè)人日常生活中遇到一些問(wèn)題，例如購(gòu)物、貸款、股票、住房、日常鍛煉等問(wèn)題，為了獲得最佳的解決方案，也可以求助于數(shù)學(xué)模型，用其做出較理想的決策。可以說(shuō)數(shù)學(xué)的引入，給經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了無(wú)窮無(wú)盡的靈感。不敢預(yù)測(cè)也不敢斷言，在未來(lái)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的研究中數(shù)學(xué)是否會(huì)占統(tǒng)治地位，但越來(lái)越多的研究表明：數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中占有不可替代的地位，對(duì)促進(jìn)經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展起到了極為重要的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分[M].北京：高教出版社，2003，6.

[2]程祖瑞.經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化導(dǎo)論[M].中國(guó)：社會(huì)科學(xué)出版社，2003.

[3]毛俊超，等.一些重要數(shù)學(xué)工具在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用[M].商場(chǎng)現(xiàn)代化，2009（18）.

作者簡(jiǎn)介：

李立紅（1967-），女，河北保定人，副教授，理學(xué)學(xué)士，經(jīng)濟(jì)學(xué)碩士，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。