淺談初中數學輔助線之妙用

陳紅光 朱月祥

【摘要】在初中數學的幾何問題中，人們解決這類型的題目往往會用到輔助線.添加輔助線是為了更好、更方便地解決問題.因為題目中給出的已知條件一般解決不了問題，而通過添加輔助線，便會得到一些新的條件，非常有助于解決問題，這是初中生在解決初中幾何問題時的有效策略.因此，遇到困難的幾何體時，輔助線來幫你！我們需要學會巧妙地利用輔助線.

【關鍵詞】初中數學；輔助線；方法；妙用

眾所周知，添加輔助線給幾何題的解決有著不可忽視的地位.由于題目的變化無窮，所以輔助線的添加方法也是形形色色的.粗略地看那些輔助線似乎沒有條理，無據可依，其實不然.在眾多的幾何題中，必然會存在著兩樣東西，一是圖形，二是條件，也有隱含的條件.因此，我們作輔助線時可以根據圖形的特殊性和條件的特殊性進行添加，這樣題目將會迎刃而解.本文將針對初中幾何題目，談談輔助線的妙用.

一、輔助線在三角形中的妙用

輔助線在三角形中的添加，是根據不同的問題作出不一樣的輔助線來.如：

（一）在直接證明不出三角形三邊關系時，可以延長某邊或者是連接兩點，構成三角形，從而使得結論中出現的線段在一個或多個三角形中，最后運用三角形三邊的不等關系來證明.

（二）在直接證明不出三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時，可以延長某邊或者連接兩點，構成三角形，使得小腳位于這個三角形的內角，要證明的大角在三角形的外角的位置上，最后利用外角定理求解.

（三）題目中有出現角平分線時，一般是在角的兩邊取相同的線段，從而構造全等三角形.

（四）題目中有出現以線段中點為端點的線段時，一般是延長加倍這條線段，從而構造全等三角形.

（五）題目中有出現三角形中線時，一般是延長加倍中線，從而構造全等三角形.

圖1例如：如圖1，已知AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CF>EF.

分析要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把EN，FN，EF移到同一個三角形中.

證明在DA上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，

在△DBE和△DNE中：

∵DN=DB（輔助線的作法），∠1=∠2（已知），ED=ED（公共邊），

∴△DBE≌△DNE（SAS），

∴BE=NE（全等三角形對應邊相等）.

同理可得：CF=NF.

在△EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴BE+CF>EF.

點評當題目中有角平分線時，通常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，然后用全等三角形的性質得到對應元素相等.

二、輔助線在平行四邊形中的妙用

正方形、矩形、菱形都屬于平行四邊形，它們的兩組對角、對邊以及對角線都具有一些相同的性質，因此，給這些平行四邊形添加輔助線時的方法是差不多的，都是為了讓線段垂直或平行，然后構造出全等或相似的三角形.一般常用的方法是連接對角線、平移對角線，延長一邊中點與頂點的連線等，這樣可以將平行四邊形轉化成三角形、矩形等圖形，有利于解決問題.

三、輔助線在圓中的妙用

在圓中添加輔助線的辦法通常有：

（一）可以根據垂徑平分定理，過圓心作弦的垂線.

（二）可以根據同圓或者等圓中的圓心角、圓周角、弦、弧的相互轉換關系，連接圓上相關的點來解決問題.

（三）當題目中有直徑這一條件時，通?？紤]“直徑所對的圓周角是直角”來添加輔助線.

（四）當題中有切線時，通常連接過切點的半徑或直徑，利用切線與它垂直的特點.有時也作過切點的弦，溝通弦切角與圓心角、圓周角之間的關系.

（五）當題中有兩圓相切時，首先考慮的是過切點作兩圓的公切線，由此溝通弦切角與圓周角之間的聯系.有時也作兩圓的連心線，利用切點在連心線上溝通圓心距與兩圓半徑之間的關系.

（六）兩圓相交時，作兩圓的公共弦，以兩圓的公共弦作為“橋梁”溝通兩圓的圓周角和其他角之間的關系.

總而言之，在幾何題中添加輔助線是有規律可循的，學生需要對這些圖形添加輔助線作一個系統的歸納總結，這樣才能開拓思路，提高解決幾何題型的技巧.

【參考文獻】

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