解題反思 溫故知新

季近仁

【摘要】 在初中數學標準中明確指出學生通過對解決問題過程的反思，獲得解決問題的經驗.反思性學習在初中數學學習中尤為重要，而解題教學是數學教學的根本，將反思性數學學習融入現今數學課堂教學中的解題教學，從而引導學生自我反思，養成反思習慣，提高反思能力.

【關鍵詞】 反思；解題；學習

一、反思及反思性學習的概述

在西方研究中，杜賓斯基（Dubinsky）強調了反思作為一種數學理解的有效性.基爾帕特里克 （Kilpatrick）表明反思活動在客觀意義上是從元觀點演變而來的.在我國的研究中，反思在當代認知心理學中屬于元認知范疇，它是指對自身的思維過程、思維結果進行再認識和檢驗的過程.

反思性學習是一種以學習為中心的自主學習、自我監控和自我評估的學習，是學習者對自己的思維過程、思維結果進行再認識的檢驗過程，體現了以人為本的理念.反思性學習是一種有效的學習方式，它的基本特征是探究性，即在考查學習活動的經歷中探究其中的問題和答案，重新建構自己的理解，從而學會學習，使學習活動變成一種有目標、有策略的主動行為.

二、解題教學中的反思性學習

在課堂教學中，解題教學不僅能幫助學生透過現象認識本質，而且有利于學生養成良好的反思習慣.解題過程的反思實際上是解題學習的信息反饋調控階段，通過反思，有利于提高學生深層次的構建.課堂解題教學的反思性學習主要體現在解題的一般化、特殊化和類比.

1. 一般化思想的反思性學習

一般化是從對象的一個給定集合進而考慮到包含這個給定集合的更大的集合.例如在解答后的反思中將題目的已知條件替換成一般形式，進行了更廣泛的推廣，得到了更一般的結論，使學生的知識網絡化，完善認知結構.

例1 （1）通過計算比較下列各式中兩數的大小：（填“>”、“<”或“=”）

①12 21，②23 32，③34 43，

④45 54，⑤56 65，……

（2）由（1）可以猜測nn+1與（n+1）n（n為正整數）的大小關系：當n 時，nn+1 < （n + 1）n；當n 時，nn+1 > （n + 1）n.

解析 第一小問通過具體的數字來進行計算，答案是①< ②< ③> ④> ⑤>，第二小問將第一小問的具體數字用抽象的字母n來代替，體現了一般化的數學思想方法，通過對第一小問的反思，進行簡單的歸納和總結，我們得到當n = 1或2時，nn+1 < （n + 1）n；當n > 2時，nn+1 > （n + 1）n.

（2）特殊化思想的反思性學習

特殊化是從對象的一個給定集合，轉而考慮包含在這集合內的較小的集合.例如從多邊形轉而考慮正n邊形，從正n邊形轉而特別考慮等邊三角形.

例2 觀察：1·2·3·4 + 1 = 52

2·3·4·5 + 1 = 112

3·4·5·6 + 1 = 192

…

（1）請你用含n的數學式子表示第n個等式；

（2）根據（1），計算2006·2007·2008·2009 + 1的結果.（用一個最簡式子表示）

解析 本題給出了幾組等式，這幾組等式有相似的格式，從格式中抽象出一般的情況（第一小問）體現了一般化的思想方法，答案是n（n + 1）（n + 2）（n + 3） + 1 = [n（n + 3） + 1]2.在第一小問的基礎上進行反思，發現第二小問是對第一小問的特殊化，將數值帶入第一小問，就可以得到答案（2006 × 2009 + 1）2.

（3）類比思想的反思性學習

類比源自希臘文“analogia”，原意之一為比例.類比是某種類型的相似性，兩個系統可作類比，如果他們各自部分之間，在其可以清楚定義的一些關系上一致的話.例如，在平面上的一個三角形可與空間的一個四面體作類比，一個三角形和一個棱錐也可以看作類比的圖形.類比思想的本質就是相似性，在數學解題教學中，類比思想的反思性學習能夠幫助學生得到與題目對象相似的另一對象的對應結論.

例3：（1）如圖（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O.

a）若∠A = 60°，求∠BOC的度數.

b）若∠A = n°，則∠BOC = .

解析：b）小題相對于a）小題，體現了數學思想中的一般化思想，將題目條件中具體的數值用抽象字母代替，解題思路沒有太大的變化. a）小題答案是120°， b）小題答案是（90 + n） °

（2）如圖（2），在△A′B′C′中的外角平分線相交于點O′，∠A′ = 40°，求∠B′O′C′的度數.

解析：第二小問本身是第一小題的類比，從第一小問中已知條件的內角平分線，變成了外角平分線，但是所給的角度是一個具體值，方便學生計算，答案是70°.在解答完本小問后，仿照第一小問的模式，我們通過反思可以把題目類比改成：如圖（2），在△A′B′C′中的外角平分線相交于點O′，∠A′=n°，求∠B′O′C′的度數.從而將題目推到了一般化的情況.答案是（90 - n） °.

我們注意到，我們討論了三角形兩個內角的平分線相交，兩個外角的平分線相交，反思一下，一個內角平分線和一個外角平分線相交的情況是什么呢？

數學中的很多知識都是有聯系的，相似的，運用類比思想有利于舉一反三，得到相似對象的對應結論，幫助學生以不變應萬變，提高解題技巧.

三、小 結

通過上述分析，可以看出反思性學習在初中數學解題教學中的地位舉足輕重，反思性數學學習充分體現了新課程的理念，符合新課程的要求，有利于發展學生的思維，發展學生的反思能力，提高學生的綜合能力.