列方程解決實(shí)際問題的三把鑰匙

周艷敏

列方程就是將眾多實(shí)際問題“數(shù)學(xué)化”的一個(gè)重要模型. 這是解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的法寶，但學(xué)生在列方程解應(yīng)用題方面的能力很差，整體提高學(xué)生列方程解應(yīng)用題的水平，是非常有意義的. 學(xué)生在初學(xué)列方程解題時(shí)，其主要困難在于讀不懂題，找不到等量關(guān)系. 追本溯源，我覺得是學(xué)生對基本知識(shí)理解不深刻. 第一步是單位，先說明一下在小學(xué)階段學(xué)生接觸的單位.

長度單位：厘米（cm）、分米（dm）、米（m）、千米（km）.

面積單位：平方厘米（cm2）、平方分米（dm2）、平方米（m2）.

體積單位：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）.

重量單位：克（g）、千克（kg）、噸（t）.

時(shí)間單位：秒（s）、分鐘（min）、小時(shí)（h）.

貨幣單位：元、角、分等.

我們把以上幾種單位稱為基本單位，把由兩個(gè)單位或兩個(gè)以上的單位構(gòu)成的單位稱為組合單位. 像速度單位：米/秒（m/s），它是由長度單位（米）和時(shí)間單位（秒）組合構(gòu)成的. 它的意義是物體在單位時(shí)間（1s）內(nèi)行駛的路程. 當(dāng)然組合單位還有很多，下面會(huì)舉例說到. 路程=速度×?xí)r間 這一基本公式是初中生接觸較早的公式，它經(jīng)過變形還會(huì)得到速度 = ■和時(shí)間 = ■，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，在這里路程的單位是米（m），時(shí)間的單位是秒（s），所以速度的單位是米/秒（m/s）. 原來單位在運(yùn)算中也是可以乘除的啊！通過單位可以判斷出速度的單位是米/秒（m/s）或千米/時(shí)（km/h）. 速度就是物體在單位時(shí)間內(nèi)行駛的路程. 單位時(shí)間可以是1 s，1 min或1 h. 學(xué)生如理解了速度的內(nèi)涵，那么

路程 = 速度 × 時(shí)間

速度 = 路程/時(shí)間

時(shí)間 = 路程/速度

這三個(gè)公式自然就熟記于心了. 我把任何一道實(shí)際問題需要的公式稱為第一把鑰匙.

一.路程問題

基本公式：路程=速度×?xí)r間

而路程問題中常見有兩種.

相遇問題：等量關(guān)系是兩者的路程和等于開始相距的路程.

追及問題：等量關(guān)系是兩者的路程差等于開始相距的路程.

例1 一輛客車和一輛卡車同時(shí)從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是70 km/h，卡車的速度是60 km/h，客車比卡車早1 h經(jīng)過B地. A，B兩地間的路程是多少？

顯然此題屬于路程問題，基本公式是：路程=速度×?xí)r間，接著我們找等量關(guān)系，等量關(guān)系就是題中的某句話，這句話能夠翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)語言，也是列方程的關(guān)鍵所在，尋找等量關(guān)系的方法就是找到這樣一句話，能寫出加減乘除中一種運(yùn)算的語句. 顯然客車比卡車早1 h經(jīng)過B地就是此題的等量關(guān)系.

卡車從A到B所用時(shí)間-客車從A到B所用時(shí)間=1 h（*）.

此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)此題用到的基本公式是：時(shí)間 = .

我們已經(jīng)找到了兩把鑰匙（基本公式和等量關(guān)系），接下來就是把兩把鑰匙組合在一起構(gòu)成解決問題的第三把鑰匙. 把基本公式代入到（*）式，它變成了

二、工程問題

基本公式是：工作時(shí)間×工作效率=工作總量

時(shí)間 × 人數(shù) × 人均效率 = 工作量

第一個(gè)公式經(jīng)常指的是一項(xiàng)工程，一塊地，一件工作，一池水等. 解題時(shí)通常把工作量看作單位1.

例2 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做需要做12天才能完成，乙隊(duì)獨(dú)做需要4天完成. 如果甲隊(duì)先做了若干天后，由乙隊(duì)單獨(dú)接著做余下的工程，直至全部完工，這樣前后一共用去了6天. 求甲隊(duì)先做了幾天？

工作總量看成1，甲乙的工作效率分別是和. 此題的等量關(guān)系是甲隊(duì)先做了若干天后，由乙隊(duì)單獨(dú)接著做余下的工程，直至全部完工，這樣前后一共用去了6天.

所以甲的工作效率 × 若干天 + 乙的工作效率 × （6 - 若干天） = 1

設(shè)甲先做了x天，那么乙做了（6 - x）天.

需要說明此類問題中工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)，這個(gè)單位時(shí)間可以是分鐘、小時(shí)、天等. 假如一個(gè)人（工程隊(duì)）完成某項(xiàng)工作需要a小時(shí)（天），那么他或它的工作效率就是.

綜上所述，列方程解應(yīng)用題是在用算術(shù)方法解應(yīng)用題的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，我們要從題目本身挖掘出大量的條件，它以四則運(yùn)算的基本應(yīng)用和常見的數(shù)量關(guān)系為依據(jù)，綜合運(yùn)用了用字母表示數(shù)、解方程等知識(shí)，有特殊的解題思路和方法，有完整的解題步驟和程序. 我所說的根據(jù)單位判斷題目中運(yùn)用的基本公式只是其中的一種方法. 而等量關(guān)系的尋找也應(yīng)該從題目本身出發(fā)，使學(xué)生體會(huì)到，想解決哪道題，那道題目本身就是突破口. 所以解決實(shí)際問題的三把鑰匙如下：

（1）基本公式（關(guān)系式）.

（2）找到等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系調(diào)整（變形）公式.

（3）把公式代入到題中的等量關(guān)系中.

列方程解決實(shí)際問題是初中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)也是重點(diǎn)，需要學(xué)生諸多方面的素質(zhì)和能力. 我們在教學(xué)中應(yīng)不斷探索，不斷努力. 培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，使他們感受到數(shù)學(xué)是有用的，為培養(yǎng)學(xué)生的良好思維品質(zhì)和道德品質(zhì)作出應(yīng)有的努力.