淺談中學數學教學過程中對學生邏輯思維的培養

陳慶竹

[摘要]邏輯思維能力，是正確、合理地進行思考的能力。它在能力培養中起到核心的作用。對中學生在數學學習過程中，邏輯思維的培養，主要采取三個步驟：一是在形成、理解和深化數學概念過程中培養邏輯思維能力，二是通過數學推理能力的發展培養邏輯思維能力，三是通過數學語言的訓練培養邏輯思維能力。

[關鍵詞]中學生；數學；邏輯思維；培養

【中圖分類號】G633.6

數學教學，是不斷幫助學生在學習過程中建立各類數學概念體系的過程。而數學概念體系的形成和發展的過程，則是分析、綜合、抽象、概括、比較、分類等各種邏輯方法的形成和發展的過程。數學知識又大都通過數學概念的聯系而表達數學命題的，這些命題的結構形式和論證方法以及相互的研究都屬于邏輯學的范疇。

邏輯思維能力，是正確、合理地進行思考的能力。它在能力培養中起到核心的作用，是學習數學理論，運用數學知識所不可缺少的基本能力。

在中小學階段，學生的思維是從具體的形象思維向邏輯思維發展的階段。小學階段，算術學習以具體形象為主要的思維形式。進入初中，就要為從具體形象向邏輯思維形式過渡奠定基礎。從初二到高一，則是邏輯思維的培養階段，但此時還是以學生的實踐經驗為基礎，傾向于經驗型邏輯思維。高二到高三的邏輯思維能力的培養，則以已有的理論知識為基礎，屬于理論型邏輯思維。在高中階段，辨證邏輯思維成分在逐漸增加。在培養學生邏輯思維能力時，應該很好地考慮這些階段的特點。特別要抓住初中一、二年級這個思維發展的重要時期，對于打好發展邏輯思維能力的基礎有著重要的意義。

邏輯思維能力的強弱表現在概念、判斷、推理這些思維形式運用能力的強弱上，表現在語言的表達運用和思維開展時每步的依據是否充足上。教師的數學教學，對學生在數學學習過程中應在這方面下功夫、花氣力，以求邏輯思維能力得到提高。

一、在形成、理解和深化數學概念過程中培養邏輯思維能力

數學概念是數學思維的細胞，沒有正確的數學概念，就不可能有正確的數學思維，不深化數學概念，就不能發展數學思維。

1.數學概念的形成過程

數學概念隸屬于一般概念，它是人腦反映數學對象（客觀事物的數量關系、空間形式和結構關系）的本質屬性的思維形式。數學概念作為概念，它的形式遵循一般概念形成的規律，然而又將體現出其本身的特殊性，其形成過程可概述為：⑴對數學對象進行感知辨認，在頭腦中建立數學映象；⑵通過觀察、分析，從各個數學映象中分化出各種屬性，通過比較概括成共同屬性，使學生形成鮮明的數學表象；⑶通過分析、綜合、抽象、概括的思維活動，抽象出數學對象的共同本質屬性；⑷用數學詞語表達數學對象。其過程是：

上述數學概念的形成過程，包含了四個階段，其中，第一、二階段為形象思維階段，第三、四階段為邏輯思維階段。從概念形成的過程可以看出，形象思維是邏輯思維的先導，它滲透合在邏輯思維之中，如果沒有形象思維的滲入，邏輯思維就不可能很好地展開。

2.數學概念的掌握——理解和深化過程

形成數學概念以后，還須進一步理解和深化概念。使學生形成對概念的掌握，即進入認知過程的發展階段，其標志是概念之間內在的本質聯系的揭露，建立概念體系。這也意味著對概念有了進一步的理解：⑴感性認識于理性認識已經結合起來；⑵新概念與原有知識已有機地聯系起來；⑶能用自己的語言表述出來。

對于數學概念的掌握，還要求將數學概念加以深化，深化的關鍵則是運用，數學概念的運用，即看在實踐中能否將一般與個別密切聯系起來，是一般化與特殊化的思維方法在數學概念中的應用。只有從一般到特殊、特殊上升到一般的過程中。能將數學概念運用自如，才意味著概念得到了深化。

二、通過數學推理能力的發展培養邏輯思維能力

從某種意義上講，邏輯思維能力就是解決問題的能力。思維活動是對所研究的材料進行加工的過程，通過邏輯推理，得到符合客觀規律的本質性認識。因此要發展邏輯思維能力，應該著重于邏輯思維能力的培養。

要培養邏輯推理能力，就要重視數學命題的學習。由于每一個數學命題，都是按照一定的邏輯關系構成的，深入掌握命題的過程，就是邏輯推理能力增長的過程。

邏輯思維對推理的基本要求是：推理要合乎邏輯，也即在進行推理時要合乎推理的形式，遵守推理的規律。因此，必須通過推理思維的訓練和推理形式的訓練這兩個方面來培養邏輯思維能力。

1.推理的每一步都要求有邏輯依據

在數學教學中，對于命題的推論都要有正確的根據。要指導學生，能指出推理的每一步所作依據的定義、公理、定理。在運算時，要自覺意識到運算的每一步都是根據相應公式法則（包括運算律）來進行。如果是作圖，則要讓學生清楚地認清是根據哪一項基本作圖法來實施。

2.作關于聯想思維方法的訓練

推理過程的思維活動，要進行頻繁的聯想，通過聯想“穿針引線”接通思路。應做一些便于作縱向和橫向聯想的練習，以便在聯想的實踐中學會聯想。

3.作關于分類思維方法的訓練

數學對象一般都包含多個側面，如果只從對象本身所直接顯露的一面來進行推證，則易出現以偏概全的形象，以致產生遺漏等情況。因此，在推理進行前，必須對推理的對象進行全面、周密的觀察和思考，進一步把一個復雜的問題分成若干種情況去考查，然后逐一進行論證，這就需要使用分類這種思維方法加以操作。注重于進行分類思維方法的訓練，有助于周密的思考和合理的推理，以提高邏輯思維能力。

4.通過反例剖析，糾正邏輯性錯誤

在中學教材和一些參考資料中，都有一些反例剖析的例子，教師在教學過程中應給予重視，指導學生練習，以加深自己對邏輯性錯誤的印象，提高邏輯推理時的警覺。

最有效是推理形式的訓練是加強三段論法的運用。這種訓練以在幾何學習中進行為主，但在代數、三角學習中應該加以必要的注意。

三、通過數學語言的訓練培養邏輯思維能力

1.數學語言與數學邏輯思維的關系

⑴數學邏輯思維是借助數學語言來實現的。如在研究有關幾何圖形的性質或解決有關問題時，可以畫一個草圖，也可以不作出圖形，而憑借數學語言來思考。只有通過數學語言這種物質形式（說出的、聽到的、或看見的詞的信號），才能把所研究的數學對象的共同本質屬性和它們之間規律性的聯系固定下來，從而有可能進行抽象、概括等邏輯思維活動。⑵數學語言不能脫離數學思維而存在。由于數學語言本身的意義就是通過數學思維——邏輯思維是其中核心而獲得的，數學語言必須要和數學思維聯系起來，才能有其數學的內涵，才能表達出數學思維所進行的活動。如果失去了數學思維所概括出來的數學特征，那它就不成為其數學語言了。因此，提高數學語言的運用能力是培養邏輯思維能力的重要途徑。

2.注意提高運用數學語言的能力

在教學實踐中，“語病”是由于對數學語言的理解和運用的能力薄弱所導致的思維的混亂。如：

①x2、︱a-2︱、√x-1都是正數（實際應為非負數）；②三角形兩邊之和大于第三邊（應為“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，不能漏去“任意”兩字）；③同位角、內錯角相等（缺少了前提，漏了“兩條平行直線被第三條直線所截”這一狀語成分）；④大角對大邊，小角對小邊（缺少“同一三角形”這一狀語成分）。再如，關于“同類項”的定義：“所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項，叫做同類項”。有的同學對條件中的“字母相同”不明確，以為只要有一個字母相同即可，以致出現3ax+5bx=8abx這類錯誤。

以上種種，都說明了由于對數學語言理解和運用上的薄弱導致了思維上的混亂。因此，在學習過程中必須重視對數學語言運用能力的提高。

1.要指導學生搞清楚數學語言的字義詞意

在數學語言中，每一個字、詞都有著確切的意義，要準確地理解這些字、詞，就需要“咬文嚼字”（尤其是初中），如“x比y大a”，這是表示兩數之差，這個“比”是個連接詞，而“x與y的比是a”，則表示兩數之商，這里的“比”是個名詞，同一個“比”字就有不同的含義；“增加了”，后面的數是凈增數，不包括原數，而“增加到”，后面的數是凈增數與原數的和，要能準確地把握“了”和“到”的不同意義。

數學語言中的詞比較隱蔽，但起的都是關鍵作用，決不是可有可無的。如“a與b的絕對值的和”與“a與b兩數的絕對值的和”，兩者雖只有“兩數”二字之差別，但意義是不同的，前者表示的是“a+︱b︱”，后者則是表示“︱a︱+︱b︱”。但不少同學卻誤以為“兩數”這二字是可有可無的，因而兩者列出的卻是同一個式子。有的同學對于字在語言中的順序毫不在意，如“不都”與“都不”他們以為是同一個詞意。其實“不都”是對“都”的否定，一般有多種情況。而“都不”僅有一種情況。

2.要指導學生用數學語言精確地表述命題

正確理解和運用數學語言能力的強弱表現之一，是用數學語言精確地敘述數學命題，為此，要指導學生從自己的實際出發，做針對性的練習。

在理解數學命題時，要對命題的字、詞逐詞逐字細細推敲。例如，在學習“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”這一定理時，注意不能把“兩組”當作“兩條”；不要以為“對”字可有可無；也要注意“分別”這一關鍵詞的重要作用。根據這種實際情況，指導學生學習時，可以通過變換教學語言中的字、詞，展開比較、分析、思維操作，找出哪些字、詞作了變動，對于表達命題的意義有何影響。通過比較。分析，并要求學生舉出例子加以說明，就能加深對關鍵詞、字所起作用意義的理解。

對于比較復雜的數學語言，可以采用“分解”的方法來學習。如對方程的同解原理2：“方程兩邊都乘以（或除以）不等于零的同一數，所得的方程是同解方程”。有的同學很難全面加以理解和掌握，為此，可把同解原理2“分解”為“方程兩邊都乘以（或除以）”、“不等于零的同一個數”、“所得的方程與原方程是同解方程”。抓住“都”、“同”這兩個關鍵詞來學習。

3.采用簡易的數學語言進行“變式”，逐步提高對數學語言的理解、運用能力

數學語言本身抽象程度上也存在著層次之分，首先可用淺層次、簡明易懂的數學語言，由淺入深地逐步提高數學語言的理解和運用能力。例如，關于異面直線所采用的定義，下面的三種表述就是由淺入深的：

A既不平行又不相交的兩條直線，稱為異面直線。

B不同在任何平面的直線稱為異面直線。

C不在同一平面的兩條直線稱為異面直線。

再做適當的練習，如找出正方體、四面體等中與某一條棱所在直線異面的那些棱所在直線，以加深對異面直線定義的理解和運用。