函數解析式、圖像、單調性在數列中的應用

熊治周

函數教學是中學數學教學的重要內容之一，多年來，一直是高考必考重點內容。函數解析式、函數圖像、函數的單調性等內容在數學教學中，特別是在數列中的應用非常廣泛，對解決數列中的數量關系等問題有較好的輔助意義。

一、從函數角度理解數列定義

數列就是有規律的排列數，可看成正整數集，也可看作以正整數集為定義域的函數，是當自變量按從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值。

例如，①由全體正偶數構成的數列：2，4，6，8，……，2n，……。② 正方形數列：1，4，9，16，25，……。③圍棋格子中放麥粒的數列：1，2，4，……，263。

像這樣的數列還有很多，①②③分別是我們前面學的一次函數y=2x、二次函數y=x2、指數型函數y=2x-1當x按照從小到大的順序依次取正整數時所對應的一列函數值。

這樣類比有什么好處呢？我們在學習數列之前已經學習并掌握了函數的表示方法：解析法、列表法和圖像法。尤其是求函數解析式，我們做了系統的總結，可以很容易地推出①②③的通項公式分別是an=2n、an=n2、an=2n-1。我們也可以用列表法、圖像法表示數列，進而得出了數列的三種表示方法：解析 法、列表法和圖像法。特別指出，數列的圖像是均勻分布的一群孤立的點。

二、應用函數思想研究數列性質

四、函數思想在等比數列中的應用

教材中等比數列{an}的通項公式還寫成an=a1×qn-1=—×qn=c×qn，其中c=—是一個不為零的常數。當q≠1時，y=qx是一個指數函數，y=cqx是一個非零常數與一個指數函數的積。因此，單看這個圖像就可以看出，表示數列{cqn}的點都在函數y=cqx的圖像上。

總之，教學數列內容時，把函數的思想滲透其中，恰當運用，就能夠使數列問題輕松解決；這樣，既鞏固了函數的知識，又使數列問題得到了解決，事半功倍。

（作者單位：貴州省湄潭縣求是高級中學）