引入數學實驗的概率統計課程的兩種教學模式的探討

黃曉梅 李建耀

【摘要】在概率統計教學中引入數學實驗是目前高等學校概率統計教學的趨勢，本文研究和探討了引入數學實驗后的概率統計教學的兩種模式：驗證模式和探索模式.結合具體教學案例，文中給出了兩種模式的實施過程，并分析了這兩種模式對學生學習效果帶來的影響.

【關鍵詞】數學實驗教學；概率統計；教學模式

【中圖分類號】O211；G640【文獻標識碼】A

本文得到江西省高等學校教學改革研究省級課題立項資助.（課題編號：JXJG-13-2-14）

一、引言

隨著計算機技術的發展，將基于數學軟件的數學實驗引入傳統概率統計課堂已成為廣大高校教師的共識.傳統的數學教學模式，按照“定義→定理→推導→結論→應用”模式組織教學，該模式在培養學生抽象思維、邏輯推理、復雜計算等方面的數學能力有其特有的優勢，但也存在抽象、枯燥、與實際聯系不足等問題.數學實驗的引入使數學課堂變得更加生動有趣，能充分調動學生的學習主動性，在培養學生興趣，尤其是運用計算機解決實際問題的能力方面有著不可替代的優勢，因此數學實驗是傳統課堂教學有益且必要的補充.目前關于概率統計課程如何實施數學實驗已開展了不少研究工作.其中，馬淑蘭研究了引入實驗后教師和學生的角色定位問題；孫蕾、莫達隆等給出了適合實驗教學的具體案例，劉銘等構建了實驗教學體系.本文嘗試從教學模式角度，研究了引入數學實驗后概率統計課堂教學應該如何開展，分析了各種教學模式的特點與優點，并給出具體案例進行說明.

二、數學實驗的目的與作用

關于開展數學實驗教學的目的，不同高校有不同的側重點.李尚志教授認為數學實驗的目的是從問題出發，借助計算機，通過學生親自設計和動手，體驗解決問題的過程，從實驗中去學習、探索和發現數學規律.其作用是“開胃湯”，激發學生進一步深入學習數學理論的興趣和愿望.清華大學姜啟源教授則把數學實驗與數學建模結合在一起，使學生通過數學軟件做實驗，學習解決實際問題的數學方法，提高數學興趣、意識和能力.這兩種觀點，前者偏重于激發興趣、培養探索和研究精神，后者偏重于學習軟件技術和數學方法、培養解決實際問題的能力.

三、教學模式探索

基于上述目的，結合教學實際，筆者認為在傳統概率統計課堂中引入數學實驗可以有以下兩種基本的教學模式.

1.驗證模式

驗證模式是指在講授新課后，通過數學實驗進一步驗證所學知識的原理和問題結論的正確性、或對某一抽象理論給出具體形象的演示.其流程如圖1所示.

圖1驗證模式流程圖

這種實驗模式的教學效果是可以加深學生對抽象理論知識的理解，減少學生學習數學的畏難情緒，增強他們學習數學的信心.下面舉例說明這一模式的具體實施.

案例1各種常見概率分布圖形

在介紹概率統計常見分布時（如二項分布、指數分布、正態分布等），常需要在黑板上畫出各分布的密度函數和分布函數曲線圖形，并分析各參數對函數曲線圖形的影響.在理論分析完畢后，可以引入數學實驗.如，借助Matlab數學軟件提供的disttool指令.該指令會彈出一個常見概率分布的交互式界面，該界面上提供了20種常見分布的密度函數和分布函數曲線的圖形，對每種分布圖形，可以通過改變界面上的參數設置，動態、直觀地感受參數對函數曲線的影響.操作簡便，省時省力.

案例2頻率的穩定性與波動性

在解釋頻率的穩定性與波動性概念時，通常做法是以歷史上多位數學家做過拋硬幣的實驗為例，讓學生閱讀教材上列舉的實驗結果.這樣的方式非常枯燥，遠不如親自實驗來得生動有趣.例如，可以利用Matlab編程語言編制一個程序，模擬投硬幣的過程，在此過程中讓學生一次次地增加拋硬幣的次數，觀察每次實驗正面朝上的頻率.通過實驗，學生自然對什么是頻率的穩定性與波動性有了深刻的理解.由于獲取知識的過程是學生主動參與，獲得的知識又是具體直觀的，于是學生對此類知識印象深刻，不易遺忘.

案例3蒙特卡羅方法計算定積分

蒙特卡羅方法是利用概率統計方法來進行數值計算的方法.其理論依據之一是大數定律.課堂上在講授完大數定律之后，可以介紹蒙特卡羅方法計算定積分.首先介紹蒙特卡羅方法的思想，推導出計算公式.然后再利用數學軟件在計算機上模擬該方法的實現.學生通過該實驗一方面加深了對大數定律的理解，了解了大數定律的應用；另一方面拓展了知識面，學習到概率統計在其他領域中的應用.

2.探索模式

探索模式是指在講授新課之前，利用計算機軟件創設出問題情境，學生通過實驗觀察實驗結果，對潛在的數學規律給出猜想，再通過數學理論的分析及證明，給出支持或否定該猜想的論證，最后得出結論.其流程如圖2所示.

圖2探索模式的教學流程

這種實驗模式事先不給出相應的理論和結論，而是通過實驗，讓學生自己探索發現數學規律，激發學生的好奇心，從而激發學生進一步學習數學理論的愿望.學生在此過程中獲得的是探索數學規律的經驗和樂趣，對理論的學習從被動變為主動，從不知其所以然到知其所以然，學習的效果無疑大大增強了.這種實驗模式體現的是歸納法教學的教育思想.

案例4中心極限定理

中心極限定理因為其內容的抽象性是概率統計課程教學的一個難點.在講授該定理前，可以先做幾個實驗，讓學生觀察實驗的結果，對實驗結果給出自己的猜想.在激發學生求知欲望的基礎上，引出定理的介紹，然后用該定理對實驗結果進行證明，對實驗現象進行解釋.本文總結出以下三個可以借鑒的實驗.

第一個實驗是經典的高爾頓釘板實驗.通過計算機軟件編制程序，模擬圓珠落地所堆成的曲線的形狀.同時程序提供參數，可以改變釘板上釘子的排數以及圓珠向左或向右滾動的概率.學生通過大量的實驗，觀察上述操作帶來的曲線形狀的變化，猜想出圓珠落地坐標所服從的概率分布.

第二個實驗是投擲骰子實驗.利用數學軟件模擬同時投擲n顆骰子，計算出投擲后所得n顆骰子的點數之和，繪出點數之和的分布曲線圖，通過改變n，猜想點數之和服從的概率分布.

第三個實驗是在區間[0，1]內產生n個服從均勻分布的隨機變量的值，計算這n個隨機變量的和，繪出這個和的分布曲線圖，通過逐漸增大n，猜想這個和服從的概率分布.

通過上述實驗，學生容易給出猜想：上述實驗中涉及的問題服從的分布似乎都是正態分布.接下來自然會產生愿望去尋求解釋這一現象的原因.此時，教師給出中心極限定理的介紹，然后讓學生自己用中心極限定理對上述猜想進行論證與說明，最后得出上述實驗現象的解釋.相信這樣一堂課后，學生對中心極限定理會有深刻的理解和印象，同時也體會到探索發現并證明的樂趣.

四、結論

本文結合具體案例，探討了概率統計課堂引入數學實驗后的兩種教學模式，一是驗證模式，二是探索模式.通過上述研究，可以發現引入數學實驗后的概率統計教學比傳統教學更能調動學生的學習積極性，激發他們的學習興趣，學到的知識更具體生動、貼近實際.在實施數學實驗的教學過程中值得注意的是，傳統課堂的主導地位不可動搖.要避免出現過度依賴數學軟件，用直觀形象代替抽象理性思維的傾向.此外，在課時有限的條件下，理論教學與實驗教學的課時如何分配，教材各知識點如何組織，也有待進一步深入研究.

【參考文獻】

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[3]莫達隆.概率統計中隨機模擬實驗的設計——兼談eviews隨機數發生器的使用[J].福建教育學院學報，2012，8（4）：119-121.

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