無窮小量與無窮大量之間關系的應用

祁偉 嚴興杰

【摘要】結合教學中的體會，從無窮小量與無窮大量之間的相互關系入手，進一步認識無窮小量與無窮大量.學會利用二者之間的關系，解決一些實際問題，達到提高教學質量的目的.

【關鍵詞】無窮大量；無窮小量

【基金項目】中國礦業(yè)大學2012年青年教師校級教學改革資助項目（2001245）.

一、前言

不論是在《高等數(shù)學》還是在《數(shù)學分析》中，都把無窮小量與無窮大量當作重點內容介紹，這是因為此部分內容為后續(xù)課程的學習提供了基礎，例如用等價無窮小替換求極限、判定級數(shù)的收斂性等.從教材的編排上看，《高等數(shù)學》和《數(shù)學分析》中都是先講無窮小量，后講無窮大量.但是對無窮的概念的認識過程看，人類是先認識無窮大，后認識無窮小.所以在文獻[1]中，作者按照人們認識無窮的進程，提出了自己的觀點，認為先認識清楚無窮大，再認識無窮小.教材中這樣安排，主要都是考慮教學的目的.

相對于無窮小與無窮大的比較，一般的教材中都講無窮小的比較，在求極限時可以用等價無窮小代替等.在文獻[2]中，作者給出了無窮大的比較.在求極限的過程中，同樣可以用等價無窮大相互之間替換求函數(shù)的極限.在文獻[3]中，作者闡述了無窮小的哲學問題，指出了人們對無窮小認識的一些錯誤，提出了正確的觀點，證明了認識無窮小的過程是符合實踐——認識——再實踐——再認識的自然辯證法.

從教科書和一些文獻中，我們能很清楚地認識無窮大量和無窮小量及其性質，也能解決一些實際問題.但我們不能把二者割裂開來獨立地去認識.現(xiàn)有的教材中只輕描淡寫地說無窮大量和無窮小量符合倒數(shù)關系，先講無窮小量，無窮大量的所有結論利用二者之間的倒數(shù)關系可以得到.這就使得學生產生一種誤解，認為認識了無窮小量，就等于認識了無窮大量，而不會利用二者之間的關系靈活解決實際問題.本論文正是從解決上述問題出發(fā)，利用無窮大量和無窮小量之間的關系進一步認識二者，從而能更好地解決在實際應用中的一些問題.目的是改正教學過程中出現(xiàn)的錯誤和打消學生的疑惑，提高教學質量，這也符合人們認識自然的實踐、認識、再實踐、再認識的自然辯證法.