對二元二次式子的認識

鄭瑩瑩 侯禹

高中階段我們認識的二元二次型主要是圓錐曲線，但是大綱并不要求有xy的交錯項. 但這屆畢業年級出現了這樣一道題和大家分享一下.

例：實數x，y滿足x2+y2≥1且x2+y2+xy≤1，則的范圍.

本題的常規解法如下：

法一不等式法：當x=0時，=0. 當x≠0時，由題易知xy≤0，則≤0（x≠0）所以∈（-∞，0）∪[2，+∞）綜上∈（-∞，0]∪[2，+∞）.

法二均值代換法：令m=x+y，

t=x-y，則

x=，

y=代入兩個已知式子得m2+t2≥2，

m2

+t2≤1. ①

所求為=1+. 其中表示①式公共區域內的點與原點連線的斜率. 如圖1所示，所以∈（-∞，-1]∪[1，+∞），所以∈（-∞，0]∪[2，+∞）.

學生拿到這個題時最大的障礙就是對含有交錯項xy的式子表示什么不知道，那么在理解好一點的層次的學生可以多了解一些. 筆者先從旋轉坐標系基本問題入手，再證明了一個常用結論.

問題一：對于一般地二元二次方程：Ax2+Bxy+Cy2+ Dx+Ey+F=0.

證明：設其旋轉坐標系的旋轉角為θ時，滿足cot2θ= （如圖2）. 設op=r，則x=rcos（α+θ）=rcosαcosθ-rsinα·sinθ，所以x=x′cosθ-y′sinθ. 同理y=y′cosθ+x′sinθ. 將此式帶入二元二次方程中得交錯項x′y′的系數為Bcos2θ-Asin2θ+Csin2θ，要將方程化為標準型需要消去x′y′，則Bcos2θ-Asin2θ+Csin2θ=0，所以cot2θ=.

問題二：證明對于二元二次方程：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+ Ey+F=0. 當B2-4AC<0時，方程標準型為橢圓. 證明思路為x′與y′項的系數同號.

證明：將旋轉坐標帶入方程后得含有x′的項為

Acos2θ+sin2θ+Csin2θ

x′. 含有y′的項為

Asin2θ-sin2θ+Ccos2θ

y′由問題一得cos2θ=，sin2θ=，sin2θ=，cos2θ=. 其中M=. x′與y′系數之積為[（A-C）2+B2+M（A+ C）][M（A+C）-（A-C）2-B2]=-（A-C）4-2B2（A-C）2-B4+（A+C）2[B2+（A-C）2]=-[B2+（A-C）2]+（A+C）2=（4AC-B2）.

由分析知即要求4AC-B2>0，也就是B2<4AC.

此性質可以推廣至雙曲線和拋物線.

當B2-4AC>0時Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示雙曲線；

當B2-4AC=0時Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示拋物線.