職前數(shù)學教師如何應對學生的概率錯誤

黃興豐，馬云鵬

（1．常熟理工學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，江蘇 常熟 215500；2．東北師范大學 教育學部，吉林 長春 130024）

職前數(shù)學教師如何應對學生的概率錯誤

黃興豐1，馬云鵬2

（1．常熟理工學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，江蘇 常熟 215500；2．東北師范大學 教育學部，吉林 長春 130024）

概率是中國中小學課程的重要組成部分．學生對概率的學習往往存在諸多困難，這也使得教師面臨許多挑戰(zhàn)．教師要學會診斷和利用學生在不同情境中出現(xiàn)的錯誤，幫助學生更好地認識和理解概率．通過設計一個有關概率的情境問題，對48名職前數(shù)學教師的數(shù)學教學知識進行了測試，結果表明：（1）盡管職前教師都能求出情境中的概率，但是僅有少數(shù)能真正解釋學生的錯誤；（2）職前教師對學生錯誤的解釋，會直接影響他們教學設計的水平．

職前教師；數(shù)學教學知識；概率

1 引 言

在以前，概率只出現(xiàn)在中國高中數(shù)學課程之中，自21世紀初，中國中小學數(shù)學課程改革以來，概率也開始進入義務教育階段的數(shù)學課程[1～3]．總的來說，課程對學生在概率上的要求是分階段、螺旋上升的．在小學階段（4～6年級），課程僅僅要求學生能在具體的情境中去感受概率．等學生進入初中之后，課程目標略有提高，要求學生能在具體的情境中了解概率，比如了解簡單隨機現(xiàn)象中概率的計算方法．高中則是學生學習概率的主要階段，課程中的概率內容也愈加豐富，比如要求學生能通過實例理解古典概型．與此同時，課程增加了選修內容，要求學有余力的學生選學更多的概率內容，比如事件的獨立性等．事實上，概率作為數(shù)學和統(tǒng)計的重要組成部分，一方面，可以為學生學習更高的數(shù)學內容作好必要的準備，同時也是他們將來學習其它學科內容的基礎；另一方面，在現(xiàn)實生活世界中，隨機現(xiàn)象是無處不在的，因此發(fā)展學生的概率素養(yǎng)，有益于他們未來的社會生活[4]．然而，國內外眾多研究表明，學生對于概率的學習存在諸多的困難．比如，Shaughnessy曾經綜述了學生在概率學習中出現(xiàn)的各種錯誤[5]，其中許多錯誤，來源于學生對樣本空間的誤解[6]．

診斷和利用學生的學習困難和數(shù)學錯誤，應當成為教師必備的意識或能力[7]．比如，在專業(yè)發(fā)展的初級階段，教師就要有了解學生已有基礎和分析學習困難的意識，當學生在數(shù)學學習中出現(xiàn)困難的時候，要給予學生解釋和表達思維過程的意識．在以后進一步的專業(yè)發(fā)展中，教師要學會選擇合適的方法準確地分析學生的困難，要學會提煉和彰顯學生錯誤思考的內在價值．Ball曾經指出，教師應當把學生的錯誤作為一扇窗戶，由此洞察他們對數(shù)學的理解，并盡力幫助他們找到自身錯誤的原因[8]．

在研究中，研究者將探索：當職前教師面對學生概率錯誤的時候，他們是如何作出診斷和反饋的？他們的學科知識和教學方法之間存在哪些聯(lián)系？具體來說，將圍繞前面所提到的，學生對樣本空間的誤解，來評價職前教師的數(shù)學教學知識，并探討他們已有知識之間的聯(lián)系．這樣的研究無疑對于教師教育而言，是事關重要的．因為它不僅可以幫助研究者發(fā)現(xiàn)職前教育中亟待解決的問題，同時也可以幫助設計更好的在職教師專業(yè)發(fā)展計劃．

2 理論基礎

2.1 中小學生認識樣本空間的困難

在隨機試驗中，所有可能發(fā)生結果（基本事件）的全體稱為樣本空間．比如上拋一枚硬幣是一個隨機試驗，落地向上可能是正面，也可能是反面，所以這個隨機試驗的樣本空間就有兩個基本事件，構成的樣本空間為Ω=｛正面，反面｝．在對隨機現(xiàn)象數(shù)學化的過程中，樣本空間是一個重要的基礎概念，它一方面刻畫了隨機現(xiàn)象所有可能的結果，同時又為計算隨機事件的概率提供了條件．Horvath和Lehrer曾經概括了學生理解樣本空間所存在的3個困難[9]：第一，兒童通過確定性的（deterministic）思維方式，獲得可能發(fā)生的結果．幾乎近一半的（8～9歲）兒童，在正式開始學習概率之前，即使在簡單的隨機試驗中（完成只要一個步驟），他們也會經常采用確定性的思考方式，去尋找可能發(fā)生的結果[10～11]；第二，在生成樣本空間的時候，特別是在復雜的隨機試驗中（完成需要兩個步驟），學生存在許多排列組合上的錯誤．比如，哪些時候該考慮元素的順序，哪些時候不必考慮元素的順序[12]．第三，學生不太容易把樣本空間的基本事件和它們發(fā)生的可能性對應起來．特別是在復雜的隨機實驗中，這種情況經常發(fā)生[13～14]．比如，在拋擲兩枚硬幣的隨機試驗中，學生可能會認為，落地的兩枚硬幣出現(xiàn)“一正一反”和出現(xiàn)“兩個全是正面”的可能性是一樣的[15]．

2.2 理解古典概型的樣本空間所需要的知識

古典概型是最簡單的隨機試驗模型，要求樣本空間中的元素（即基本事件）只有有限多個，而且每個基本事件出現(xiàn)的可能性是相同的．在古典概型中，隨機事件的概率計算，一般只要用“樣本空間中可能有利的基本事件個數(shù)”比“樣本空間中所有基本事件的個數(shù)”，就可以得到事件發(fā)生的概率．在中小學數(shù)學課程中，隨機試驗大都是古典概型，為了讓學生理解和掌握這個重要的數(shù)學模型，課程要求學生在小學階段（4～6年級），能在具體情境中列出簡單隨機現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結果，并能對結果發(fā)生可能性的大小做出定性的描述．在初中階段，要求學生能用列表或樹狀圖，列出所有的基本事件，并能求出指定事件發(fā)生的概率．在高中階段的必修課程中，要求學生通過實例，理解古典概型及其概率計算公式，會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．概括起來說，對于古典概型學生應當：能用文字或符號表示樣本空間中的基本事件（K1）；能通過枚舉（使用表格、樹狀圖）的方法，確定樣本空間中所有的基本事件（K2）；（3）能把樣本空間中的基本事件和它們發(fā)生的可能性對應起來（K3）；（4）能判斷樣本空間中基本事件是否等可能（K4）．

2.3 教師的數(shù)學教學知識

Ball把數(shù)學教學知識（mathematics knowledge for teaching）分成學科知識（subject matter knowledge）和學科教學知識（pedagogical content knowledge）兩部分[16]．

Ball所指的學科知識其實就是數(shù)學知識，包括（1）一般的學科知識（common content knowledge），也就是教師所教課程的數(shù)學知識，比如會用樹狀圖列舉所有可能的基本事件；（2）橫向的數(shù)學知識（horizontal content knowledge），也就是可以從高觀點的視角來看待中小學的數(shù)學知識，或者能把不同的數(shù)學知識聯(lián)系起來．比如，把中小學課程中拋擲兩枚硬幣的隨機試驗，和大學數(shù)學課程中的伯努利試驗聯(lián)系起來；（3）專門的學科知識（specialized content knowledge），是指教師特有的數(shù)學知識．比如，在拋擲兩枚硬幣的隨機試驗中，學生會認為落地硬幣中，“第一枚是正面，第二枚是反面”和“第一枚是反面，第二枚是正面”是同一個基本事件．此時，教師要能分析和判斷學生的錯誤．

盡管中國已經有不少研究，關注了教師或職前教師數(shù)學教學知識的發(fā)展[18～22]，但是，對數(shù)學教師概率教學知識的研究，還是為數(shù)不多的．不過，已有的這些研究至少說明了一點：中國中小學數(shù)學教師對概率的理解不容樂觀[23～25]．可能正是他們對概率知識缺乏深刻的理解，因此當學生發(fā)生課堂爭論時，教師常常會感到束手無策[26]．

2.4 分析框架

Hiebert和Lefevre把數(shù)學知識分成兩類，即概念性知識（conceptual knowledge）和程序性知識（procedural knowledge）[27]．概念性知識最大的特點，就是通過知識內部的相互聯(lián)系，形成一個知識網絡，并不斷精致其內部結構，擴張其外部聯(lián)系的過程．如果學生能把樣本空間和等可能性等概念聯(lián)系起來，就可以說他已經初步形成了一個關于樣本空間的概念性知識．隨著這個概念內外聯(lián)系的不斷豐富，學生的理解就越來越深刻．程序性知識，就是通過操作形式化的數(shù)學語言，或者符號表征體系，執(zhí)行已有的算法、或程序，達到完成任務的目的．因此，程序性知識也可以被看成是一種技能（skill）．比如，學生能通過畫樹狀圖的方式，羅列樣本空間中的基本事件．事實上，無論是概念性知識，還是程序性知識對于學生的學習都十分重要，而且二者之間存在相互聯(lián)系．Rittle-Johnson和Alibali在綜述了已有研究的基礎上，總結了概念性知識促進程序性知識形成的4個方面證據(jù)：（1）具備深刻的概念性理解的兒童，一般也具備熟練的程序性技能；（2）在某些數(shù)學內容上，學生的概念性理解要先于程序性技能的形成；（3）同時注重概念和程序的教學，有利于促進學生程序性技能的形成；（4）概念性知識的積累，能促使程序性技能的生成．同時，她們又指出，程序性知識對于概念性知識的影響是比較復雜的．只有在充分運用了程序性知識后，或者把程序性知識和它背后的概念聯(lián)系起來的時候，才能促進概念性知識的發(fā)展．她們的研究也清楚地表明，概念性知識導向的數(shù)學教學，不僅可以發(fā)展學生的概念性理解和程序性技能，而且更有利于程序性知識的遷移；然而，程序性導向的教學，雖然也可以發(fā)展學生的概念性理解，但是程序性知識的遷移會受到很大的限制[28]．

研究以此為分析框架，探究職前教師面對學生概率錯誤所表現(xiàn)出的數(shù)學教學知識的傾向：概念性的，抑或程序性的．前面提到，古典概型樣本空間的理解需要K1～K4的知識．如果職前教師對學生錯誤原因的解釋，只是涉及K2，那么就稱他們的解釋是程序性的．如果職前教師的解釋能把K2和K1、K3、K4知識聯(lián)系起來，那么就稱他們的解釋是概念性的．對于職前教師擬采取的教學方法，也按照同樣的標準進行分析．

3 研究方法

3.1 研究對象

來自蘇州某本科院校數(shù)學與應用數(shù)學（數(shù)學教育）專業(yè)大學三年級的48名學生參加了此次研究．他們已經學完大學所有課程，即將走進中學開展為期3個月的實習．他們所修的與中小學數(shù)學教育相關的課程，可以分成4類：第一類，是高等數(shù)學課程，共有數(shù)學分析I～III（304學時）、高等代數(shù)I～II（160學時）、解析幾何（48學時）、概率論與數(shù)理統(tǒng)計（64學時）、數(shù)學建模（48學時）、近世代數(shù)（48學時）、復變函數(shù)（48學時）和常微分方程（48學時）；第二類是初等數(shù)學課程，有初等數(shù)學研究I和初等數(shù)學研究II，共計96學時；第三類是數(shù)學教育課程：數(shù)學教育學（48課時）、數(shù)學教學心理（32課時）、數(shù)學教學軟件應用（32課時）、中學數(shù)學教學設計（12課時）和微格教學（24學時）．第四類是教育理論基礎課程：心理學基礎（48課時）和教育學基礎（48課時）．

3.2 情境問題

研究設計了一個概率教學情境（見圖1），從情境問題中兩個學生的爭論來看，困擾學生的是他們對古典概型中樣本空間的理解（忽視了樣本空間中基本事件的等可能性）．借此情境，探索職前教師的學科知識和學科教學知識．首先，要求職前教師指出學生錯誤的原因，并寫出正確的解答過程，由此考察他們具備的學科知識．其次，要求職前教師針對學生的錯誤，設計相應的教學方法，由此評價他們已有的學科教學知識．

圖1 概率教學情境問題

3.3 數(shù)據(jù)收集和分析

2013年7月，48名職前教師在中學數(shù)學教學設計的課堂上，獨立完成了情境問題的回答．根據(jù)前面介紹的分析框架，教師數(shù)學教學知識是程序性的，還是概念性的，在此情境中，就職前教師的回答展開具體分析：（1）數(shù)學問題的解答．職前教師對情境問題的解答需要一般的學科知識，或橫向的學科知識．他們對數(shù)學問題的解答分成兩類：正確或錯誤的解答；（2）對學生錯誤的解釋．職前教師對學生錯誤的解釋，需要專門的學科知識．他們的解釋可以分成程序性或概念性的解釋．（3）教學過程的設計．職前教師設計教學過程，需要學科與教學的知識．類似的，他們的設計可以分成程序性或概念性兩類．具體的例子，詳見表1所列．

4 研究結果

4.1 職前教師的學科知識

（1）職前教師對概率問題的解答．

參與研究的48名職前教師，都判定情境中曉曉給出的結果是錯誤，并給出了自己正確的解答過程，展現(xiàn)了他們對概率知識的理解和掌握水平．

表1 職前教師教學知識的分析框架

表2 拋擲硬幣可能性列表

（2）職前教師對學生錯誤的解釋．

圖1情境中，曉曉首先用“1和1”、“1和2”、“2和2”表示拋擲兩枚硬幣可能出現(xiàn)的結果，說明曉曉已具備關于樣本空間K1的知識．蓮蓮不同意，認為“1和2有兩種情況”，換言之，她認為曉曉少列了一種可能出現(xiàn)的結果．但是，從曉曉最后反駁的觀點中，可以發(fā)現(xiàn)，他并非遺漏了一種可能（知道有四種可能結果，具備了K2），而是認為有兩種結果是一樣的，應當作為一個基本事件來考慮．由此可見，曉曉并沒有把事件和它發(fā)生的可能性聯(lián)系起來考慮（缺乏K3）．如果這兩種可能出現(xiàn)的結果作為一個基本事件的話，那么這個基本事件對應的可能性，明顯要大于其它兩種結果的可能性（缺乏K4）．換言之，這樣3個基本事件是不等可能的，因此也就不能用古典概型的公式計算概率為1．3

Ball將診斷和分析學生錯誤的知識稱為教師特有的學科知識．Steele針對美國數(shù)學教師的現(xiàn)狀，指出：“盡管近來的研究表明，教師的這種知識對學生的數(shù)學學習具有重要的影響，然而，這種知識教師尚未發(fā)展起來，無論是職前教育還是在職培訓，都沒有提供做好這一點的機會[29]．”那么參與研究的48名職前教師，針對圖1所示的教學情境，是怎么來分析學生錯誤的原因呢（見表3）？如前所述，雖然48名職前教師都給出了情境中概率問題的正確解答，但是25%的職前教師，并沒有對學生的錯誤做出任何解釋．超過一半的職前教師，把學生的錯誤僅僅歸結為生成樣本空間的錯誤（K2），并沒有把它和事件發(fā)生的可能性聯(lián)系起來（K3），并進行比較（K4），因此他們的解釋是程序性的．雖然有20個人，指出學生錯在把“兩種不同的結果，當作了同一事件”，但是他們還是沒有把樣本空間中的事件與事件發(fā)生的概率聯(lián)系起來，因此還是沒有解釋“為什么這兩個事件不能看成同一個事件”的原因．只有21%的職前教師做出了概念性的解釋，指出了學生錯誤的原因．

表3 職前數(shù)學教師對學生概率錯誤的解釋

4.2 職前教師的學科教學知識

根據(jù)Shulman的定義，學科教學知識是教師在融合了學科和教學兩個方面的知識后生成的，在教學中可以為不同興趣、能力的學生組織、表征和改造具體的學習內容．研究僅僅關注學科教學知識中一個方面，即Ball所界定的學科與教學的知識．通過職前教師為糾正學生錯誤而設計的教學過程，可以了解他們已有的學科與教學知識水平．

（1）程序性的教學。

表4 職前教師設計的教學過程

盡管，有2名職前教師對“一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字1，另一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字2”要看作2個基本事件作了解釋，但是他們的解釋是抽象空洞的．顯然，沒有把事件和可能性聯(lián)系起來（K3），并強調其等可能性（K4）．比如編號12的職前教師這樣寫道：曉曉同學，你搞錯了概率的含義．現(xiàn)在請你回想一下概率的含義是什么？這道題中兩枚硬幣是一樣的．但是它們畢竟是兩枚，故而和為3的情況是2種．必須算兩種，只算一種，是你忽視了試驗的過程．

值得一提的是，有17名職前教師，在教學設計的過程中，采用了個性化的方法，試圖說明為何“一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字1，另一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字2”要看作2個事件．但遺憾的是，他們還是沒有把樣本空間的基本事件和它們發(fā)生的可能性聯(lián)系起來（K3），并強調其等可能性（K4），因而也就無法促進學生真正的理解．

第一種方法，區(qū)分硬幣．有7名職前教師通過“給硬幣命名、染顏色”，或“用有序數(shù)對表示”等方式，區(qū)分兩枚硬幣，試圖向學生解釋“一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字1，另一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字2”為何要看作2個基本事件．

比如，編號44的職前教師，給兩枚硬幣命名，讓學生理解“一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字1，另一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字2”為何要看作2個基本事件．她是這樣設計教學的：我先問：“現(xiàn)在我們將兩枚硬幣分別命名為1號硬幣和2號硬幣．同樣，我們來拋硬幣，那么會出現(xiàn)哪些情況呢？”這時他會知道右種情況，我把他的回答列成表格．然后我再問：“1號硬幣是1，2號硬幣是2；和2號硬幣是1，1號硬幣是2是不是同一種情況呢？”……

比如，編號為07的職前教師，用不同的顏色標記硬幣拋擲的數(shù)字，幫助學生理解“一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字1，另一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字2”要看作2個基本事件．他寫道：可以把兩枚硬幣加以區(qū)別，一枚硬幣拋出來的數(shù)字用紅筆寫，另一枚拋擲的數(shù)字用黑筆寫．然后列出所有可能的情況．通過這種方法讓曉曉知道1和2與2和1是不同的情況．

比如，編號為11的職前教師，利用坐標形式來表示拋擲硬幣的結果，他寫道：1+2=2+1=3，但(1,2)≠(2,1)．所以(1,2)，(2,1)是兩種不同的情況……

第二種方法，區(qū)分拋擲的先后次序．有7名職前教師，試圖通過區(qū)分拋擲硬幣的先后次序，幫助學生理解“一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字1，另一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字2”要看作2個基本事件．比如編號15的職前教師寫道：問題的關鍵是曉曉認為1和2，2和1是一樣的．所以主要就是要讓他意識到這兩種情況是不同的．所以我會對題目適當做一些改造．將兩枚硬幣同時拋擲改為分兩次拋．讓他自己動手操作．在他多次拋擲后．我問他：“先拋得正面，后拋得反面，與先拋得反面后拋得正面的情況相同嗎？”這明顯不同，然后再和原題聯(lián)系．既然這樣，同時拋擲和先后拋擲的結果應該是一樣的．

第三種方法，打比方．有2名職前教師，借助其它具體的例子作比方，試圖解釋“一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字1，另一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字2”是不同的兩個件事：

例如，編號27的職前教師寫道：首先我會問曉曉一個問題：“甲有2元，乙有3元，和甲有3元，乙有2元一樣嗎？”讓他認識到，雖然結果一樣，但是情況是不一樣的．

再如，編號28的職前教師寫道：1支鉛筆和2塊橡皮的總數(shù)也是3，2支鉛筆和1塊橡皮的總數(shù)也是3，但這兩個3的含義是不一樣的．

這些職前教師，為了讓學生理解“一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字1，另一枚硬幣出現(xiàn)數(shù)字2”是2個基本事件，他們或改造情境（增加或改變一些非數(shù)學的物理條件），或打比方，試圖區(qū)分這兩個事件．然而這樣一來，一連串的疑問又來了．比如，原來兩枚硬幣是相同的，如果硬要區(qū)分它們，這樣的試驗和原來還是相同的嗎？為什么先后拋擲硬幣，和同時拋擲硬幣可以看成是相同的試驗呢？事實上，如果不把樣本空間中的事件和它們發(fā)生的可能性聯(lián)系起來，這樣的“區(qū)分”是沒有太大的數(shù)學價值的，并不能讓學生理解背后真正的原因．

盡管這個職前教師，在教學設計中，把“和為2”、“和為4”這2個事件，和它們發(fā)生的可能性聯(lián)系了起來．但是在計算了“和為3”的概率之后，并沒有引導學生對3者發(fā)生的可能性進行比較（K4），坐失良機．因此，這樣的教學也只是程序性的，盡管它與概念性的教學僅差一步之遙．

（2）概念性的教學

在參與研究的所有職前教師中，只有33%的教師，在設計教學時，把樣本空間的基本事件和它們發(fā)生的可能性聯(lián)系了起來，并進行了比較．

盡管這2名職前教師并沒有明確地指出事件的等可能性，但是他們通過“實驗”的辦法，讓學生體會到：如果忽視了等可能性，得到的概率值是不符合實際情況的．

4.3 職前教師的學科知識對學科教學知識的影響

從前面的數(shù)據(jù)可以看出，參與研究的職前教師都具備了解決情境中數(shù)學問題的能力．然而，他們在診斷學生錯誤，設計教學過程的時候，卻表現(xiàn)出了不同的水平．那么職前教師診斷學生錯誤的水平，會對他們的教學產生怎樣的影響呢？為此，首先要把先前質性的資料，轉化為量化的數(shù)據(jù)，即進行編碼．在職前教師對學生錯誤原因的解釋中，沒有任何解釋的記作0；程序性解釋記作1，概念性解釋記作2．按照同樣的辦法，也對職前教師設計的教學方法，作類似的編碼：程序性的教學記作1，概念性的教學記作2．把職前教師的解釋作為自變量，教學方法作為因變量，利用SPSS作單因素方差分析，結果發(fā)現(xiàn)：職前教師對學生錯誤原因的解釋，對他們所設計的教學過程具有顯著性的影響（F=19.922，p<0.0001）．從表5可以發(fā)現(xiàn)：第一，如果職前教師對學生錯誤的解釋是概念性的，那么他們的教學方法也一定是概念性的；第二，如果職前教師對學生的解釋是程序性的，那么他們很少有人會實施概念性的教學方法，絕大多數(shù)人的教學水平還是程序性的．第三，在沒有解釋的人中，運用程序性的方法占多數(shù)，也許可以推斷這些人很有可能也是在程序性地解釋學生的錯誤．

表5 職前教師的解釋對教學設計的影響

5 結論與啟發(fā)

48名職前教師在面對數(shù)學教學情境的時候，表現(xiàn)出了多元的特征．他們都能正確地解答教學情境中的概率問題．然而，按照Ball的觀點，教師的學科知識不僅限于此，與其它行業(yè)相比，應當具備專門的學科知識．遺憾的是，在研究中只有極少數(shù)的職前教師達到了概念性解釋學生數(shù)學錯誤的水平．這個結論，也許可以幫助人們更加深刻地理解馬力平所做的研究[30]．她曾經通過中美數(shù)學教師的比較，指出中國的中小學數(shù)學教師具備良好的學科知識．從Ball的觀點看來，馬力平所指的學科知識，應該是指數(shù)學教師一般的學科知識．至于中國數(shù)學教師專門的學科知識水平究竟如何，還要進行深入的探索．

在設計教學過程中，大概只有30%的人設計出了概念性的教學過程．只要是能對學生的錯誤做出概念性解釋的職前教師，他們都能設計出概念性的教學方法．而那些只做出程序性解釋的職前教師，他們設計的教學方法大多是程序性的．由此可見，職前教師的教學設計顯然受到他們專門的學科知識水平的影響．

研究顯示，盡管參與研究的職前教師在大學階段學習了大量數(shù)學相關課程．不可否認，這些課程對發(fā)展他們數(shù)學學科知識水平，起到了積極的作用，但是，也應當清楚地認識到，這些課程似乎并未有效地促進職前教師專門的學科知識的發(fā)展．

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How Preservice Mathematics Teachers Interpret and Respond to Student Probability Errors

HUANG Xing-feng1, MA Yun-peng2
(1. School of Mathematics and Statistics, Changshu Institute of Technology, Jiangsu Changshu 215500, China; 2. Department of Education, Northeast University, Jilin Changchun, 130024, China)

Probability is an important content in primary and secondary school mathematics curriculum. When students learn it, there are many difficulties. This phenomenon is a challenge for all mathematics teachers. Teachers should learn to diagnose and make use of their students’ errors and mistakes, which could be as significant opportunities to promote them to understand probability. In this study, 48 preservice mathematics teachers were investigated with a design task, and the results shows that: (1) all preservice teachers solved mathematical problem well, but only a few could make conceptual explanation the student’ error in the task; (2) preservice teachers instructional strategies completely depended on how they interpreted student error.

preservice teacher; mathematics knowledge for teaching; probability

G451.2

：A

：1004–9894（2015）03–0028–07

[責任編校：張楠]

2015–01–08

全國教育科學“十二五”規(guī)劃課題——基于PCK結構框架的數(shù)學課例分析模式研究（DHA120241）

：黃興豐（1974—），男，江蘇南通人，副教授，教育學博士，主要從事數(shù)學教育研究．