基于啟發(fā)式教學的數(shù)學思想教學設(shè)計

王燕榮++韓龍淑++屈俊

數(shù)學思想是對數(shù)學概念、數(shù)學原理及數(shù)學方法的本質(zhì)認識，是數(shù)學的靈魂和數(shù)學認識價值的體現(xiàn)，是學生形成良好數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的紐帶，因此數(shù)學思想的學習和感悟是中學數(shù)學教學的重要內(nèi)容。《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）首次把數(shù)學的基本思想作為四基之一。由于數(shù)學思想多數(shù)是隱性的，常常蘊含在數(shù)學知識的產(chǎn)生、形成和應用過程中，致使數(shù)學教學中出現(xiàn)只關(guān)注數(shù)學知識的學習，而忽視數(shù)學知識內(nèi)部隱含的數(shù)學思想的偏差現(xiàn)象，由此彰顯出研究數(shù)學思想的教學設(shè)計及實施的重要性。

一、從初中幾何教學片段窺數(shù)學思想的教學現(xiàn)狀

筆者觀摩了《多邊形的內(nèi)角和》課題的教學，教師引導學生在回顧三角形內(nèi)角和的基礎(chǔ)上，研究大家熟悉的四邊形的內(nèi)角和，并請同學小組合作討論和匯報。有的學生從矩形、正方形的內(nèi)角和是360°得到四邊形的內(nèi)角和也為360°。還有以下一些方法：如圖1，連接AC，把四邊形分成兩個三角形，而每一個三角形的內(nèi)角和等于180°，所以四邊形的內(nèi)角和等于兩個三角形的內(nèi)角和。如圖2，在BC邊上任取一點P，連接AP、DP，四邊形的內(nèi)角和等于三個三角形的內(nèi)角和減去一個平角。如圖3，在四邊形ABCD內(nèi)任取一點O，連接AO、BO、CO、DO，四邊形內(nèi)角和等于四個三角形內(nèi)角和減去一個周角，等等。教師在肯定學生已有方法基礎(chǔ)上，告訴學生求四邊形的內(nèi)角和，通常轉(zhuǎn)化成兩個三角形的內(nèi)角和，這就是數(shù)學中的化歸思想。并提出求任意的五邊形、六邊形的內(nèi)角和問題，學生通過把多邊形分解成多個三角形，求出了五邊形、六邊形的內(nèi)角和，師生共同概括出這節(jié)課的主要內(nèi)容：多邊形的內(nèi)角和為（n-2）·180°。

教師雖然尊重學生思維的差異和發(fā)展，但學生的認識停留在“一題多解”的操作層面，教師缺乏組織學生思考“一題多解”背后有什么共性的能力而只是簡單告訴學生化歸思想，忽視引導學生對各種方法本質(zhì)的提煉，缺乏對化歸思想的感悟和概括過程，使得顯性知識背后隱含的數(shù)學思想“蜻蜓點水”，數(shù)學思想的顯化提煉膚淺。

二、基于啟發(fā)式教學的數(shù)學思想教學設(shè)計思路

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）把注重啟發(fā)式、實行啟發(fā)式教學作為課程的基本理念和實施建議，因此在數(shù)學教學中實施啟發(fā)式教學顯得尤為必要。啟發(fā)式數(shù)學教學重在激活學生的數(shù)學思維活動，重在啟發(fā)學生數(shù)學思維的深層參與，揭示數(shù)學的本質(zhì)，強調(diào)教師從學生已有的數(shù)學知識、經(jīng)驗和思維水平出發(fā)，力求創(chuàng)設(shè)“憤悱”的數(shù)學教學情境，形成認知和情感的不平衡態(tài)勢，從而引導學生學會思考，學生的數(shù)學思維得以發(fā)生和發(fā)展[1]。數(shù)學思想方法是對數(shù)學知識綜合貫通的理解和升華。學生頭腦中的數(shù)學思想一開始不是自發(fā)產(chǎn)生的，只有教師有意識地啟發(fā)引導，才能使學生形成對數(shù)學思想個性化的理解和領(lǐng)悟。

數(shù)學思想教學的設(shè)計路線圖：

體味是指教師要精通數(shù)學、鉆研數(shù)學教學內(nèi)容，感知數(shù)學知識隱含的數(shù)學思想，把握數(shù)學對象的本質(zhì)特征。提煉是指精心設(shè)計教學過程，以啟發(fā)式教學思想為指導，不僅關(guān)注數(shù)學知識的形成過程，更注重對數(shù)學思想實質(zhì)的凸顯。前兩個環(huán)節(jié)突出強調(diào)教師對數(shù)學思想認識的重要性。滲透是指在教學過程中多次孕育，積累足夠的感性體驗，讓學生感悟數(shù)學思想，教師把握啟發(fā)的恰當時機，逐步深入，層層推進。概括是指數(shù)學思想方法逐步顯性化，由師生共同概括出數(shù)學思想的本質(zhì)，避免教師的簡單告之。后兩個環(huán)節(jié)突出強調(diào)教學過程中，在教師的啟發(fā)引導下，學生主動積極建構(gòu)數(shù)學思想。

三、《探索多邊形的內(nèi)角和》的教學設(shè)計

1.教學任務分析

化歸是重要的數(shù)學思想，是化未知為已知、化復雜為簡單、化陌生為熟悉的過程。在平面幾何中，要解決一個較為復雜的圖形問題，常常將其分解成基本圖形，并應用基本圖形的有關(guān)性質(zhì)使復雜問題得以解決。“探索多邊形的內(nèi)角和”課題較好地體現(xiàn)了化歸思想的運用。

本節(jié)課是《義務教育課程標準實驗教科書》北師大版八年級上冊第四章第六節(jié)“探索多邊形內(nèi)角和與外角和”的第一課時，是七年級上冊多邊形相關(guān)知識的延展和升華，并且在探索過程中又與三角形相聯(lián)系，從三角形的內(nèi)角和到多邊形的內(nèi)角和環(huán)環(huán)相扣，前面的知識為后邊的知識做了鋪墊，同時與下一課時多邊形的外角和一脈相承。通過本課題的學習使學生經(jīng)歷探索、歸納、質(zhì)疑等活動，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展合情推理能力，讓學生對發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進行說理和簡單推理，體會數(shù)學知識間的內(nèi)在聯(lián)系、感悟化歸思想的實質(zhì)。

2.教學過程設(shè)計

（1）教師設(shè)問，引入課題

教師提問：前面我們一起學習了三角形的內(nèi)角和是180°，在平面圖形中，除了三角形之外，生活中還有哪些常見的圖形呢？

進一步追問：學習數(shù)學，我們要學會思考，學會聯(lián)系，那大家思考一下，今天我們該學習什么內(nèi)容？

【設(shè)計意圖】教師通過設(shè)問，激活學生已有的知識和經(jīng)驗。運用方法論提示語啟發(fā)引導學生認識到需要研究多邊形的內(nèi)角和，符合學生的認知規(guī)律，產(chǎn)生內(nèi)在的學習需求。

（2）尊重差異，探尋方法

教師提問：研究問題，往往從特殊到一般，研究多邊形的內(nèi)角和，我們先研究（停頓，等待學生回答四邊形、五邊形等邊數(shù)較少的圖形），再研究多邊形。四邊形內(nèi)角和是多少？

學生小組討論，得出如下思考途徑：

①快速回答360°。從矩形、正方形的內(nèi)角和等于360°想到的。

②利用三角形的內(nèi)角和為180°，把四邊形分割成兩個三角形。連接四邊形的一條對角線就可以實現(xiàn)（如圖1）。

③把四邊形分割成若干個三角形的方法多樣化，都可以說明四邊形的內(nèi)角和為360°（如圖2～圖5）。

④把四邊形分割成一個平行四邊形和三角形，利用平行四邊形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和也可以實現(xiàn)（如圖6）。

教師引導：上述圖1～圖6都充分證實了直接猜想四邊形內(nèi)角和360°是正確的，也就是說利用特殊法可以幫助我們指明解決問題的方向，因此解決問題時可以從特殊的情況出發(fā)進行研究，再探討其一般性的結(jié)論。對于圖1～圖5的證明思路如何來概括一下？

師生概括：四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學過的三角形的內(nèi)角和。這種思考解決問題的思想在數(shù)學中稱之為化歸思想。

【設(shè)計意圖】放手讓學生探索解決問題的方法，開拓學生的思維。在整個教學過程中，教師注意引導學生對不同的思考途徑給予合理的分析，尤其要引導學生通過數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和是三角形內(nèi)角和的2倍這一重要特征，由此自然產(chǎn)生把四邊形分割成兩個三角形的思考路線，讓學生體會特殊法在數(shù)學問題解決中的優(yōu)勢。教學過程中，教師循序漸進地引導使學生初步感受化歸思想，積累感性體驗，此時認識處于直觀感知狀態(tài)，對圖6方法暫時不做過多的分析說明，為后繼的學習埋下伏筆。

（3）創(chuàng)設(shè)情境，形成認知困惑

教師提問：對于五邊形呢？（學生利用已有的知識能夠解決）

教師追問：六邊形、七邊形、八邊形呢？

【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)“憤悱”的問題情境，讓學生體會到雖然所求圖形發(fā)生變化，但研究方法是相同的，即把所求的圖形分割成若干個三角形。能否找到一個統(tǒng)一的表達式，既方便又快速地得到任意多邊形的內(nèi)角和？使學生體驗到學習內(nèi)角和的必要性，突出該節(jié)課的重點內(nèi)容。

（4）利用啟發(fā)性提示語，探求新知

教師提問：如何求n邊形的內(nèi)角和？學生在前面學習的基礎(chǔ)上，自然想到把n邊形分割成若干個三角形。

教師追問：把n邊形分割成若干個三角形的辦法很正確，那到底如何分割？分割成幾個三角形呢？

學生探求解決問題的途徑如下：

①通過觀察三角形、四邊形、五邊形以及六邊形可以發(fā)現(xiàn)n邊形可以分割成（n-2）個三角形，所以n邊形的內(nèi)角和為（n-2）·180°。

②從n邊形的一個頂點出發(fā)，分別與剩余的（n-1）個頂點相連，就有（n-1）條線段，再減去兩條邊所在的線段，也就是被（n-3）條線段分割，形成（n-2）個小三角形。

③從n邊形內(nèi)部任取一點，分別與n個頂點相連，形成n個小三角形，那么n個小三角形的內(nèi)角和為n·180°，再減去一個周角，也可以得到n邊形的內(nèi)角和為（n-2）·180°。

師生概括：分割n邊形的方法與分割四邊形的方法（圖1～圖5）本質(zhì)上是相同的，最終化歸為熟悉的三角形內(nèi)角和問題。

【設(shè)計意圖】學生自然而然想到把n邊形分割成若干個三角形，讓學生再次體驗化歸思想，逐漸領(lǐng)悟化歸的實質(zhì)。對n邊形內(nèi)角和的研究，從具體上升為抽象，思維活動也從直觀感知上升到思辨推理。同時從方法論的意義，引導學生通過觀察、實驗、歸納等科學方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，培養(yǎng)學生認識數(shù)學思想和數(shù)學方法的價值。

（5）克服負遷移，概括化歸思想

教師引導：我們解決n邊形內(nèi)角和的過程實質(zhì)上就是化歸思想的運用。梳理一下自己的思路，思考通過本節(jié)課的學習，談談對化歸思想的認識？

學生經(jīng)過思考后，不難概括出如下認識：

①化歸思想就是把多邊形分割成若干個三角形。

②化歸思想就是把不熟悉的化成我們熟悉的，把不會解決的問題化成會解決的問題。

③化歸思想比較實用，主要問題是如何化歸。

教師追問：化歸思想就是把多邊形分割成若干個三角形的認識合理嗎？

學生討論，形成合理的認識：把多邊形分割成若干個三角形是化歸的途徑之一，但不一定都要分割為三角形，只要是我們熟悉的，已經(jīng)解決的圖形都可以（如圖6）。

過點A作AP∥CD交BC于P，把四邊形分割成一個三角形和一個平行四邊形，再利用平行線的性質(zhì)同旁內(nèi)角互補也可求出。

師生概括：化歸思想的三個要素：未解決的問題（對象）、已解決的問題（目標）、轉(zhuǎn)化的途徑（方法），關(guān)鍵是如何化歸。化歸思想的本質(zhì)是把不易解決或未解決的問題轉(zhuǎn)化為易解決或已解決的問題，把復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。

教師追問：我們知道條條大路通羅馬，化歸的方法不是唯一的，那研究四邊形和多邊形的內(nèi)角和時，一定要把圖形分割嗎？（如圖7）

【設(shè)計意圖】結(jié)合學生對化歸思想的認識，教師抓住時機啟發(fā)引導學生進行深入的思考，結(jié)合圖6的證明途徑，在互相交流中提升對化歸思想本質(zhì)的認識，克服思維定勢，完善認知結(jié)構(gòu)。最后師生共同提煉概括化歸思想的實質(zhì)，使化歸思想明朗化，凸顯數(shù)學思想的認識價值。并進一步引申，使學生產(chǎn)生了新的疑難和困惑，引發(fā)其課后對化歸思想的深入探索。

學生感悟和把握數(shù)學思想，使其轉(zhuǎn)化為自己頭腦中的數(shù)學思想，與數(shù)學概念、原理等學習相比有一定的難度，對數(shù)學教師提出了更高的要求。教師在選擇教學內(nèi)容時，不是對教材的復制，而是按“教與學對應”、“教與數(shù)學對應”的原理對教材內(nèi)容進行教學法加工[2]，引導學生體味并提煉數(shù)學知識背后蘊含的數(shù)學思想，有意識地安排學生從中感悟數(shù)學思想的過程。通過多次孕育滲透，并善于利用啟發(fā)性提示語，引導學生思維的深層參與，從而領(lǐng)悟數(shù)學思想的真諦，凸顯數(shù)學思想的認識價值。

參考文獻

[1] 韓龍淑，王新兵.數(shù)學啟發(fā)式教學的基本特征[J].數(shù)學教育學報，2009（6）.

[2] 涂榮豹.新編數(shù)學教學論[M].上海：華東師范大學出版社，2008.

【責任編輯 郭振玲】