淺談柯西不等式的證明和推廣及應用

陸唯巍

摘 要：柯西不等式是數學中一個較為重要的不等式之一，它以對稱和諧的結構和廣泛的應用引起了學者的討論，并出現了許多的變式。本文從三角函數不等式證明引入，再給出經典柯西不等式的8種證明方法，以及在其他數學分支中的推廣形式，利用這些推廣形式推導和證明了中學數學和其他數學分支中的一些重要公式，通過一系列的例題，反映了柯西不等式在函數求最值及其在幾何上（距離）的廣泛應用。

關鍵詞：柯西不等式；證明；應用；推廣

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）03-010-03

一、三角函數不等式證明引入

試證不等式

分析：該三角函數不等式中含有絕對值和根式，按常規思路先做平方后化簡。

證明：將不等式兩邊平方，左端和右端相減，得：

所以原不等式成立。

二、柯西不等式的形式

定義1（二維形式的柯西不等式）：

若a，b，c，d都是實數，則 ，

當且僅當ad=bc時，等號成立。

定義2（柯西不等式的向量形式）：

定義3（二維形式的三角不等式）：

定義4（一般形式的柯西不等式）：

三、柯西不等式的證明

方法1（向量數量積的定義）：

這就是二維形式的柯西不等式。

同理證明一般形式的柯西不等式。

方法2（構造法）：

方法3（配方法）：

方法4（二次型）：

方法5（數學歸納法）：

方法6（利用基本不等式）：

方法7（行列式）：

方法8（線性相關）：

四、柯西不等式的推廣

五、柯西不等式的應用

靈活運用柯西不等式可以使一些復雜的數學問題的解題過程得到簡化。