用方程的觀點看一次函數

關永健

摘 要：本文從幾方面簡述如何用二元一次方程組來理解一次函數的問題，從而有機地把一次函數和二元一次方程（組）結合起來使用，解決一些相關的實際問題。

關鍵詞：二元一次方程 一次函數 圖象 方程組解

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）08-187-02

如果我們在教學過程中，注意引導學生用二元一次方程的知識和觀點來看待一次函數，往往會收到意想不到的效果。

一、用二元一次方程的解理解一次函數圖象

一個二元一次方程 （m、n都是常數，且m、n都不為0）是一個不定方程，有無數組解。如果把x看作橫坐標、y看作縱坐標，那么每一組解就是一個點的坐標。以二元一次方程組 的解為坐標的所有的點集中在一起，就構成了直線 。也就是說，直線 的點與二元一次方程 的解是一一對應的。這樣理解后，下面的問題就容易理解了。

求直線 與坐標軸的交點。這問題相當于知道x（或y）的值為0，求y（或x）的值。

例：直線 與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求A、B的坐標。

解：當y=0時，代入直線解析式方程 ，得 ，解得 所以A點的坐標是 。

當x=0時，代入直線解析式方程 ，得 ；所以B點的坐標是 。

二、利用二元一次方程組來判斷對應的兩個一次函數圖象的位置

設二元一次方程組的一般形式為 ，可轉化為 ，令 ，則上述形式又可以寫成 。這就對應著兩個一次函數。

（1）當 時，二元一次方程組 有唯一解，此時直線 和直線 相交。

（2）當 時，方程組 無解，此時直線 和直線 平行，沒有公共點。

（3）當 時，方程組 有無數組解，此時直線 和直線 重合，有無數個公共點。

三、二元一次方程組解決一次函數問題

在學習過程中，不少一次函數的問題可以轉化成二元一次方程組的問題來解決，下面這種題型就是很好的例子。

如何求兩個一次函數圖象交點坐標。這個交點，同時在這兩個函數圖象上，所以同時滿足這兩個函數解析式方程。我們可以通過解這兩個解析式組成的方程組來解決問題。

例：求兩個一次函數 和 圖象的交點坐標。

解：由題意可得： ；解方程組得： ；所以交點坐標是（1，1）。

四、二元一次方程與一次函數的綜合應用

實際問題一直是個難點，應根據具體情況把一次函數和二元一次方程組有機地結合，靈活運用，從而順利解決問題。

例：中國移動公司開設兩種通訊業務，“全球通”使用者先繳50元月租費，每通話1分鐘再付0.4元；“神州行”不繳月租費，每通話1分鐘付話費0.6元。現在小明想開通其中一種通訊業務，請問他應該開通哪一種更省錢？

分析：每月付話費的多少與小明每月通話時間有關，我們可設小明每月通話x分鐘，付的話費為y元，分別建立起兩種通訊業務方案的函數模型，然后再進行比較。

解：設小明每月通話x分鐘，付的話費為y元。

全球通每月付款為y=0.4x+50；神州行通每月付款為y=0.6x

在同一直角坐標系中畫出這兩個函數的圖象

解方程組 ；解之得： ；所以兩圖象交于點（250，150）

由圖象易知：

當 時， ，此時選擇神州行更省錢；

當 時， ，此時兩種方案沒有區別；

當 時， ，此時選擇全球通更省錢。

總之，在一次函數教學過程中，教師要引導學生把一次函數和二元一次方程有機聯系起來，給予學生充分的時間和空間來體驗數學知識的學習過程，適當的練習來熟練應用各知識點。這樣，相信學生學好一次函數不成問題。

參考文獻：

[1] 李亞軍.關于初中一次函數教學的幾點思考[J].湖南教育（數學教師）

[2] 高正峰.直角坐標系與一次函數的內容分析與教學探究[J].學周刊