數學思想方法在高中解題中的應用

周雪銳

摘 要：數學思想、數學方法很多，這里僅就高中教材中和考試題中常見的四種：函數思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化化歸思想作些探討，讓學生從中體會四種基本數學思想方法在解題中的重要作用。

關鍵詞：數學；思想方法；高中；應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）08-264-01

數學思想、數學方法很多，這里僅就高中教材中和考試題中常見的四種：函數思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化化歸思想作些探討，讓學生從中體會四種基本數學思想方法在解題中的重要作用。

函數思想就是運用運動和變化的觀點，集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的等量關系，建立或構造函數關系，再運用函數的圖象和性質去分析問題，達到轉化問題的目的，從而使問題獲得解決的思想。

方程思想，就是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型—方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決的思想。

1、函數與方程的思想

函數與方程的思想是高中數學中最基本也是最重要的思想方法之一，在高考中有非常重要的地位。數學中很多函數的問題需要用方程的知識和方法來支持，很多方程的問題需要用函數的知識和方法去解決，即函數與方程可相互轉化。

下面來看這樣一道例題：

例1：和 的定義域都是非零實數集，是偶函數，是奇函數，且求的取值范圍。

分析：已知兩個函數的和，求商，好象從未見過。我們不能只看符號，不注重文字，其實這一題的關鍵在于“是偶函數，是奇函數”，于是就有，又有再把換成。這時不能再把 當函數解析式來看了，知道了+，-就可以把它們當成兩個未知數，只需去解一個二元一次方程組問題就解決了。

由于函數在高中數學中的舉足輕重的地位，因而函數與方程的思想一直是高考要考察的重點，它在解析幾何、立體幾何、數列等知識中都有廣泛應用。

2、數形結合的思想

數形結合思想就是充分運用數的嚴謹和形的直觀，將抽象的數學語言與直觀的圖形語言結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過圖形的描述，代數論證來研究和解決數學問題的一種數學思想方法。

數學是研究數量關系和空間形式的科學，數和形的關系是非常密切的。把數和形結合起來，能夠使抽象的數學知識形象化，把數學題目中的一些抽象的數量關系轉化為適當的幾何圖形，在具體的幾何圖形中尋找數量之間的聯系，由此可以達到化難為簡、化繁為易的目的。

看一道數形結合的例題：

例2：已知關于x 的方程=px，有4個不同的實根，求實數p的取值范圍。

分析：設y = = 與y=px這兩個函數在同一坐標系內， 畫出這兩個函數的圖像

（1）直線y= px與y=-（x-4x+3），x[1，3]相切時原方程有3個根。

（2）y=px與x軸重合時， 原方程有兩個解， 故滿足條件的直線y=px應介于這兩者之間，由：得x+（p -4）x+3=0，再由△=0得，p=4±2，當p=4+2時， x=-[1，3]舍去， 所以實數p的取值范圍是0在數學中只要我們注意運用數形結合思想，既可增加同學們對數學的興趣，同時又能提高對數學問題的理解力和解題能力，也是提高數學素質不可缺少的因素之一。

3、轉化與化歸的思想

轉化與化歸思想是通過某種轉化過程，把待解決的問題或未知解的問題轉化到已有知識范圍內可解的問題或者容易解決的問題的一種重要思想方法。通過不斷轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式化、簡單的問題。

轉化與化歸的思想貫穿于整個數學中，掌握這一思想方法，學會用轉化與化歸的思想方法分析問題、處理問題有著十分重要意義

看一個簡單的例子：

例3：求函數的最值

分析：若平方、移項等，你會發現這些嘗試都是徒勞無功的。我們注意到：可以把換成什么？有了，也是在上的！

從某種意義上講，解答每一道題都是通過探索而找到解題思路，通過轉化達到解題目的。轉化時，一般是把一個領域內的問題轉化為另一個領域內的問題；把實際問題轉化為數學模型；把陌生繁復的問題轉化為熟悉，簡單的問題等。

4、分類討論的思想

所謂分類討論，就是在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統一研究，我們就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”。

分類討論時，必須遵循兩個原則：（1）對存在總域的各個子域分類做到“既不重復，又不遺漏”；（2）每次分類必須按同一標準進行。數學分類思想的關鍵在于正確選擇分類標準，要找到適當的分類標準，就必須運用辨證的邏輯思維，就必須對具體事物具體分析，在表面上極為相似的事物之間看出它們本質上的差異點，在表面上差異極大的事物之間看出它們本質上的相同點。這樣才能揭示數學對象之間的內在規律，對數學對象進行有意義的分類。

分類討論難免會有點繁瑣，看似一道題，卻相當于幾道題的工作量。但當目標不明確時，分類討論就是開門鑰匙了！

分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，這種思想在簡化研究對象，發展思維方面起著重要作用，因此，有關分類討論的思想的數學命題在高考試題中占有重要地位。

以上四種數學思想方法對認知數學活動的一般規律；對領悟數學精神、思想和方法，建立正確的數學觀和數學教育觀；對改進學生的學習、提高學業成績、提高數學素質、培養智能型、創新型人才都能起到積極的推動作用，所以在今后的學習過程中，我們要不斷進行歸納和總結，不斷體會這四種重要數學思想方法在數學解題中的作用。