談數學方法在高中物理教學中的應用

劉翔

摘 要：數學是定義物理概念表達物理規律的最簡潔、最精確、最概括、最深刻的語言，許多物理概念和規律都要以數學形式（公式或圖像）來表述，也只有利用了數學表述，才便于進一步運用它來分析、推理、論證。高考考試說明（物理）中明確要求 “能夠根據具體問題找出物理量之間的數學關系，根據數學特點、規律進行推導、求解和合理外推，并根據結果做出物理判斷、進行物理解釋或得出物理結論。能根據物理問題的實際情況和所給條件，恰當運用幾何圖形、函數圖像等形式和方法進行分析、表達”。

關鍵詞：小學語文；閱讀；教學

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）03-094-02

一、用數學的方法來定義物理概念。

在中學物理中常用到的比值定義法，所謂比值定義法就是用兩個基本的物理量的“比”來定義一個新的物理量的方法。比值法定義的基本特點是被定義的物理量往往是反映物質最本質的屬性，它不隨定義所用的物理量的大小取舍而改變。如：密度、壓強、速度、加速度，功率、電場強度，電容等物理量的定義。

中學物理中的許多定律，例如電阻定律、歐姆定律、牛頓第二定律、氣體實驗三定律，光的折射定律等都是從實驗出發，經過科學抽象為物理定律，最后運用數學語言把它表示為物理公式的。這是研究物理的基本方法之一。

物理學中常常利用數學知識研究問題，以高中物理“直線運動”這一章為例，就要用極限概念和圖像研究速度、加速度和位移；用代數法和三角法研究運動規律和軌跡；用矢量運算法則研究位移與速度的合成和分解等。另外，物理學中常常運用數學知識來推導物理公式或從基本公式推導出其它關系式，這樣既可以使學生獲得新知識，又可以幫助他們領會物理知識間的內在聯系，加深理解。

二、用數學方法處理物理問題

在中學物理學習中常用的數學方法可以分為圖像法、極值法、近似計算法、微元法等各類。

1、圖像法。物理圖像是一種非常形象的數字語言和工具，利用它可以很好地描述物理過程，反映物理概念和規律，推導和驗證新的規律，物理圖像不僅可以使抽象的概念形象化，還可以恰當地表示語言難以表達的內涵，用圖像解物理問題，不但迅速、直觀，還可以避免復雜的運算過程。

例如：如圖所示，甲、乙兩光滑斜面的高度和斜面的總長度都相同，只是乙斜面由兩部分組成，將兩個相同的小球從兩斜面的頂端同時釋放，不計拐角處的機械能損失，試分析兩球中誰先落地。

解析：甲、乙兩光滑斜面的高度相同，又不計拐角處的機械能損失，因此兩球的機械能君守恒，即落地時兩球速度大小相同。由于斜面的傾斜程度不同，對兩小球進行受力分析可知，乙圖中，小球在前部分的加速度大于甲，后部分的加速度小于甲。將乙的兩部分υ─t圖線合并后與甲相比，則其前部分υ─t圖線斜率比甲的斜率大，后部分υ─t圖線較甲斜率小。同時要使兩圖線與t軸圍成的面積相等，則其υ─t圖象應如圖所示：

由υ─t圖象可知，乙圖中的小球先落地。

2、極值法 極值法是在物理模型的基礎上借助數學手段和方法，從數學的極值法角度進行分析、歸納的數學處理方法。物理極值問題的討論中常用的極值法有：三角函數極值法，二次函數的極值法，一元二次方程的判別式法等。

3、近似計算法。

物理計算中，常用一些數學近似公式：

如：當θ很小時：sinθ= tgθ=θ

借助上述公式結論，在物理估算中常收到一些意想不到的效果。例：在水下1m處放置一個小物塊，問當從水面正上方向下看時，物體離水面深度為多少？

解析：水面下物體A所發出的光線經水面折射，其像點A，光路如圖所示。

，

當人眼從水面正上方往下看時，a、r兩角都應接近零度。因此有：tgr ≈ sinr，tga ≈ sina

由光的折射定律，則有：

所以當從水面正上方向下看時，物體離水面深度為1/n米

4、微元法。微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。它是將研究對象（物體或物理過程）進行無限細分，從其中抽取某一微小單元即“元過程”，進行討論，每個“元過程”所遵循的規律是相同的。對這些“元過程”進行必要的數學方法或物理思想處理，進而使問題求解。如：用微元法推導勻變速直線運動位移與時間關系。

做勻變速直線運動的物體，其速度與時間圖線下面四邊形的面積可以表示其位移。這一結論的得出就需要用微元法思想。我們研究以初速度v0做做勻變速直線運動的物體，在時間t內發生的位移。物體運動的v-t圖像如圖所示。

把時間t分割成無數多個小的時間間隔△t，在v-t圖中，每一個時間間隔起始時刻的瞬時速度由相應的縱坐標表示。在每一個時間間隔內，我們認為物體做勻速直線

運動。在v-t圖中，各段位移可以用一個又窄又高的小矩形的面積代表。每個

小矩形的面積之和近似的代表物體在整個過程中的位移。為了精確一些，可以把運動過程劃分為更多的小段，如圖乙，用所有這些小段的位移之和，近似代表物體在整個過程中的位移。

三、應用數學方法來分析、解決物理問題時應該注意的一些問題

1、理解物理公式或圖像所表示的物理意義

物理公式中運用數學知識時，一定要使學生弄清物理公式或圖像所表示的物理意義，不能單純地從抽象的數學意義去理解物理問題，要防止單純從數學的觀點出發將物理公式“純數學化”的傾向。 如在電容的概念教學時筆者就發現有一大部分學生認為電容與電荷量成正比，與電壓成反比。

2、表達物理概念或規律的公式都有自己的適應條件

在運用數學解決物理問題時，一定要使學生弄清物理公式的適用條件和應用范圍。例如，真空中庫侖定律的公式只適用于兩個相對靜止的點電荷。值得注意的是，如果從“純數學化”觀念來看，當r→0時，F→∞，但這樣的討論在物理上是毫無意義的，這時Q1，Q2的相互作用是很復雜的，庫侖定律描述不了它們之間的相互作用。

3、數學的解與物理的解的統一

如果由建立的數學模型，應用數學方法解出的數學的解都不符合物理實際意義，并不能只是簡單下個無解的結論，而是應該對原數學模型作仔細的分析與反思，找到其潛在的問題，并對原數學模型進行修正。

求得數學的解后，再從物理的角度進行討論分析，把數學的解還原成符合實際的物理的解這一過程，是十分重要的，這也是解題過程中最容易疏漏的地方。

“它山之石，可以攻玉”。在現階段大力提倡學生綜合能力的時代浪潮中，強調在物理教學中有機結合數學知識，能很好地培養學生理解、掌握和運用所學知識的能力。