中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)探索

黃展初

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6

概念是一種思維形式。客觀事物通過(guò)人的感官形成感覺(jué)、知覺(jué)，經(jīng)過(guò)大腦的加工、比較、分析、綜合、抽象、概括而形成概念。建立概念，要運(yùn)用由特殊到一般、由局部到整體的觀察方法。要遵循有現(xiàn)象到本質(zhì)、由具體到抽象的認(rèn)識(shí)規(guī)律。可見(jiàn)概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的重要內(nèi)容。

如何提升概念教學(xué)效果，筆者做了如下探索：

一、 把握好概念教學(xué)的基本原則

1.重概念形成過(guò)程的原則

概念的定義是在概念的形成過(guò)程中逐漸明朗化的。數(shù)學(xué)中不少基本概念的教學(xué)，老師應(yīng)事先悉心加工、設(shè)計(jì)，從概念的形成過(guò)程，闡明其定義的必要性和合理性。引導(dǎo)學(xué)生從舊概念和舊知識(shí)以及在客觀世界中進(jìn)入一種新概念必須產(chǎn)生的情景，才有可能使學(xué)生進(jìn)入概念思維的境界，以達(dá)到訓(xùn)練概念思維的目的。例如講零指數(shù)的定義時(shí)，先從正整指數(shù)冪的法則 演示 ，再提出 ，學(xué)生即進(jìn)入一種猜測(cè)、估計(jì)、分析、綜合的積極心理狀態(tài)。自然學(xué)生一方面可以根據(jù)舊知識(shí)得出 ；另一方面可啟發(fā)學(xué)生如果我們?nèi)杂?來(lái)計(jì)算 應(yīng)怎樣表示這各結(jié)果呢！學(xué)生自然會(huì)得出 ，導(dǎo)致零指數(shù)必然產(chǎn)生，到底 為多少呢？顯然只有規(guī)定了 才合理。

2.遵循認(rèn)知規(guī)律的原則

例如學(xué)生學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)以后，也能說(shuō)出它的定義進(jìn)行運(yùn)算。但總覺(jué)得對(duì)數(shù)變換是一種難以知其所以然的“變術(shù)”。我們可以在學(xué)生學(xué)完常用對(duì)數(shù)以后，引導(dǎo)和啟發(fā)他們不用對(duì)數(shù)符號(hào)和對(duì)數(shù)變換的式樣計(jì)算 。這時(shí)學(xué)生便有些不知所措，但經(jīng)引導(dǎo)和啟發(fā)，終能完成如下的計(jì)算： （b是把1275改為10為底的冪的待求指數(shù)，即所謂對(duì)數(shù)）。 （查對(duì)數(shù)表，得到待求指數(shù)，即所謂對(duì)數(shù)）= （分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，或說(shuō)方根的對(duì)數(shù)等于被開(kāi)方數(shù)的對(duì)數(shù)）=1.814（已知冪指數(shù)，進(jìn)行反算，而冪的具體值，或說(shuō)已知對(duì)數(shù)，通過(guò)查對(duì)數(shù)表求真數(shù)）。再要求學(xué)生完成（1275） =（10 ）=（10 ） =10 ……等類(lèi)型的運(yùn)算，然后讓學(xué)生設(shè)x= ，用兩端取對(duì)數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算。在前后兩種方法的比較中，抽象理性、領(lǐng)悟到正數(shù)的積、商、冪、方根的對(duì)數(shù)則是指數(shù)法則的一種轉(zhuǎn)換。

二、 概念課的教學(xué)方法

1. 剖新、歸納法進(jìn)行簡(jiǎn)單的概念教學(xué)

有些概念本身比較簡(jiǎn)單，無(wú)需過(guò)分講解，通過(guò)學(xué)生自己閱讀，教師點(diǎn)撥即可，如“直線(xiàn)和平面”這一章的“直線(xiàn)在平面上的射影”中，關(guān)于“點(diǎn)在平面上的射影，點(diǎn)到平面的垂線(xiàn)段、平面的斜線(xiàn)、斜足、斜線(xiàn)段、斜線(xiàn)在平面上的射影、斜線(xiàn)段的射影”，這一連串的簡(jiǎn)單的概念，我都是讓學(xué)生自己仔細(xì)閱讀，我把圖形作黑板上，然后請(qǐng)學(xué)生指出各概念相應(yīng)部分的圖形，檢驗(yàn)他們的自學(xué)的效果，把主要精力放在分析這些概念的內(nèi)在聯(lián)系和發(fā)展線(xiàn)索上，引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去看待射影的形成。點(diǎn)動(dòng)導(dǎo)致影動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)的集合與射影集合之間的關(guān)系，使他們能認(rèn)識(shí)并把握住由于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向不同，點(diǎn)集的射影可能是一點(diǎn)，是線(xiàn)段，是直線(xiàn)，是曲線(xiàn)等，這就加深和發(fā)展了學(xué)生對(duì)這些概念的理解和認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力。

2.復(fù)雜的概念，認(rèn)真分析，抓住關(guān)鍵詞

數(shù)學(xué)概念是借助語(yǔ)言文字或符號(hào)來(lái)表達(dá)的。表達(dá)復(fù)雜概念的語(yǔ)句中必有關(guān)鍵詞，講解中突出這一關(guān)鍵詞，易于學(xué)生接受，也加深了學(xué)生對(duì)概念的印象與理解。

例如，函數(shù)奇偶性的概念，偶函數(shù)的概念：如果對(duì)于f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f（-x）=f（x），則稱(chēng)函f（x）為這一定義域的偶函數(shù)。而學(xué)生往往只是很注意“f（-x）=f（x）”而對(duì)“定義域內(nèi)“容易忽視。如函數(shù)f（x）= ，x （-1，1 很多學(xué)生一看就說(shuō)是偶函數(shù)，事實(shí)上f（-x）=f（x）中的-x與x都在定義域內(nèi)，而-x與x關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由x的任意性知，偶函數(shù)的定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間。因此，判斷一個(gè)函數(shù)是不是偶函數(shù)，首先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)一定不是偶函數(shù)，無(wú)需驗(yàn)證f（-x）=f（x）了。

3. 類(lèi)比法進(jìn)行平行或相關(guān)概念教學(xué)

把兩類(lèi)平行或相關(guān)的概念有機(jī)聯(lián)系在一起進(jìn)行比較教學(xué)，可以收到溫故而知新，互相補(bǔ)充，加深理解的效果。如將平面幾何中的角和空間中的二面角類(lèi)比文字與圖形并舉。平面中的角是從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線(xiàn)形成的圖形，而空間中的二面角是有一條公共直線(xiàn)的兩個(gè)半平面所形成的圖形，有如講對(duì)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)通常與前面的指數(shù)、指數(shù)函數(shù)進(jìn)行類(lèi)比。

4.模型和實(shí)驗(yàn)法進(jìn)行直觀概念教學(xué)

在“多面體和旋轉(zhuǎn)體”中，如頂點(diǎn)、側(cè)棱、底面、側(cè)面、對(duì)角面、軸截面等直觀概念，只需用上教具模型，給學(xué)生觀察識(shí)別，通過(guò)感知材料的影響，幫助學(xué)生理解記憶。

5.對(duì)比區(qū)分法進(jìn)行容易混淆的概念教學(xué)

有些概念聯(lián)系緊密，有些概念同“種”且屬差較小，學(xué)生容易混淆，教學(xué)時(shí)應(yīng)注重于比較其本質(zhì)屬性，分析它們的從屬關(guān)系，加以嚴(yán)格區(qū)分，如二項(xiàng)式展開(kāi)式中的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)、某項(xiàng)的系數(shù)，學(xué)生最容易混淆，教師在講解時(shí)應(yīng)在同一個(gè)題中同時(shí)解決這幾個(gè)問(wèn)題，比較其結(jié)果。

如求（3x+ ） 的展開(kāi)式中x 項(xiàng)，學(xué)生往往會(huì)求其系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)，沒(méi)有弄清項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系，又如求系數(shù)最大項(xiàng)，學(xué)生往往容易算成二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，這些就應(yīng)對(duì)比分析，從比較中正確理解概念。

6. 循序漸進(jìn)法進(jìn)行較難的概念教學(xué)

有些概念的理解，一般不是一次可以完成的。教師可以引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)認(rèn)識(shí)，加深理解。

例如：反函數(shù)是一個(gè)較難的概念，層次較深。映射—映射—反函數(shù)，加之現(xiàn)在書(shū)中沒(méi)要求逆映射，學(xué)生把握有很大的難度，我們開(kāi)始只要求學(xué)生對(duì)這些連環(huán)的基礎(chǔ)概念逐個(gè)弄清，在理解了前一概念的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)下一個(gè)概念。等到學(xué)生對(duì)以上概念有了初步的整體認(rèn)識(shí)后，在進(jìn)一步分析、綜合，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：函數(shù)與其反函數(shù)是矛盾的兩個(gè)方面，所以它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都對(duì)立的或互逆的；函數(shù)與其反函數(shù)又是對(duì)立統(tǒng)一體，它們是函數(shù)，故都可由映射來(lái)定義，如在A、B兩個(gè)非空數(shù)集中要使f：A B和f A B兩映射都能確定函數(shù)，即要求在A、B兩數(shù)集中的映射是一一映射，那么這樣的映射能求反函數(shù)，否則就沒(méi)有反函數(shù)。因此一一映射是反函數(shù)存在的前提。這樣可以使學(xué)生對(duì)概念的合理性有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，對(duì)概念的理解進(jìn)一步加深，掌握就更牢固。

總之，要搞好數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，既要注重教學(xué)方法的同時(shí)又要發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，才能使學(xué)生深入理解、靈活運(yùn)用概念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。