基于高階累積量帶噪盲源分離算法

趙國偉， 王宏志

（長春工業大學 計算機科學與工程學院，吉林 長春 130012）

0 引 言

盲信號分離理論近年來在信號處理領域中得到了廣泛的應用，比如通信系統、語音增強、醫學成像、機械故障診斷等領域［1－4］，吸引了越來越多的學者對其進行研究。盲源分離（Blind Source Separation，BSS）其核心思想是，在傳輸信道特性未知或僅有少量先驗知識的情況下，輸入源信號混合情況未知，僅僅依據觀測到的混合信號來估計或分離出各個源信號的特點，進而重現輸入源信號或進行系統辨識的一種技術。而獨立分量分析（Independent Components Analysis，ICA）技術是伴隨著解決BSS問題逐漸發展起來的，ICA技術是在源信號相互獨立且僅有或者至多有一個高斯信號的條件下，利用相關知識建立相應的目標函數，并通過優化算法使得變化后的估計信號之間的非高斯性最大，即源信號相互獨立，從而使信號得到分離［5］。

然而，大部分ICA方法都以無噪假設為前提條件［6－8］，使用的優化算法為牛頓迭代算法和梯度下降算法，在信號分離的過程中，收斂過程相對較慢，并且在算法迭代的過程中容易陷入局部最優。在實際應用中，傳感器接收到的信號不止一個，往往是各個信號的延遲混合以及噪聲的疊加，使得分離變得更加復雜。

因此，針對以上問題，文中研究了基于非高斯有色噪聲的條件下，采用基于四階累積量和粒子群優化的盲分離算法。粒子群優化算法與其他智能優化算法相比，其具有結構簡單、設置參數少、易于實現和較強全局優化能力等一系列的優點［9－10］。

1 盲信號分離算法模型

1.1 混合模型

含有n個源信號和m個傳感器的多輸入、多輸出線性瞬時混合模型如圖1所示。

圖1中，

其中

表示n個源信號。

式中：A——n×m的混合矩陣；

n（t）——加性噪聲。

為得到的觀測信號。

通常，它們滿足如下的一些假設條件：

1）源信號個數小于或等于傳感器個數，即n≤m。為了簡化算法，一般取n＝m。

2）各個源信號si（t），i＝1，2，…，n之間相互統計獨立且至多含有一個高斯信號。

3）混合矩陣A列滿秩。

圖1 混合模型

1.2 解混模型

分離系統的輸出可以表示為：

式中：y（t）——得到的估計信號；

W——解混矩陣。

解混模型如圖2所示。

圖2 解混模型

如果在理想狀態下不考慮噪聲的影響，分離過程可以簡寫為

在對信號進行分離前，通常需要先對觀測信號進行預處理，即去均值和白化過程，以使信號滿足相互獨立的要求。當信號可以分離時，系統矩陣C滿足如此關系［11：

式中：P——交換矩陣；

D——非奇異對角矩陣。

2 基于四階互累積量的帶噪盲分離算法

去噪是盲源分離研究中的一個重要方面，針對含有噪聲的盲源分離問題，眾多學者提出了各種方法來解決噪聲對分離過程的影響，其中Hyvarinen［12］在基于經典FastICA算法的基礎上加入了白化偏移技術，Douglas等在自然梯度算法中引入了偏移方法，這些技術雖然在一定程度上降低了白噪聲的影響，然而在背景噪聲中含有色噪聲時，上述提出的方法對分離就沒有太大的幫助了。文中首先通過Hilbert變換構造含噪觀測信號復數情況下的接收值，根據一種特殊四階累積量的定義和SVD－TLS方法來估計非高斯有色噪聲模型的參數，進而對去噪的觀測信號采用粒子群算法進行優化得到分離信號。

2.1 去噪算法

由以上分析可以得到觀測信號為：

式中：nNG（t）——非高斯有色噪聲，假設為非高斯ARMA過程。

根據文獻［13］，首先定義一種復數域上的特殊四階累積量。

定義1 復數過程?X（t）的四階累積量為：

式中：Re［?X（t＋τ1）］——?X（t＋τ1）的實部。

實際上，定義1可以看作是兩種四階累積量的結合，即：

根據定義1，有以下兩個結論［13－15］：

（3）當地村民小農思想較為嚴重，不愿意進行土地流轉，愿意進行土地流轉的村民也由于當地土地質次、鹽堿化嚴重，很難吸收到大型涉農企業進行投資，所以集約化種植也較為困難。

采用SVD－TLS方法求解噪聲的AR模型階數N和系數bi，i＝1，2，…，N，得到噪聲的估計，進而可以獲得去噪的觀測信號x（t）。

2.2 分離算法

基于ICA分離算法的核心思想是確定一個目標函數，選取合適的優化算法求其最大或者最小值，從而求得分離矩陣W。

中心極限定理證明了由各相互獨立的隨機量之和組成的一個隨機量，如果其各成分量是具有有限方差和均值的，則與各獨立隨機分量的分布無關，此隨機量的分布將接近高斯分布。因此，如果獲得的觀測信號是源信號的一個線性疊加，那么結果是觀測信號的非高斯性相比于源信號，其高斯性更弱。由此，可以通過衡量分離信號之間的高斯性來判斷各信號之間的獨立性，從而判別信號是否分離。信號的四階累積量可以衡量信號的非高斯性，因此，選取四階累積量作為獨立性的判據，得到以下的目標函數為：

信號的非高斯性越強，K（y）的絕對值越大。基于此，提出以下的目標函數：

當J（W）最大時，就可認為達到了盲源分離的目的，這時求解的W即為所要求的分離矩陣。采用粒子群算法對式（7）進行優化：為在第t次迭代中，第i個粒子的第d維的當前位置，當前飛行速度為，此時該粒子搜索到的最優位置為pid，整個粒子群搜索到的最優位置為pgd，對目標函數進行全局尋優得到盲源分離算法步驟如下：

1）將觀測信號X（t）進行Hilbert變換，構造復數過程?X（t）。

2）按定義1估計?X（t）的四階累積量C4，?X（τ1，τ2，τ3），利 用 其 滿 足 高 階 累 積 量Yule－Walker方程，使用SVD－TLS方法估計噪聲AR模型的階次N和系數bi，i＝1，2，…，N，得到去噪的觀測信號x（t）。

3）對觀測信號x（t）進行預處理：中心化和白化。

4）根據分離矩陣W維數確定粒子維數。

5）隨機產生一定數量的粒子，在約束范圍內對粒子的位置和速度初始化。

6）對粒子種群初始測量一次，根據式（7）計算每個粒子的適應度值，找到初始狀態下個體最優和群體最優粒子位置。

7）根據粒子群算法，采用式（8）～式（10）更新每個粒子的位置和速度，計算每個粒子當前適應度值。

8）如果式（7）達到最大，則保存最佳粒子，迭代結束，否則轉步驟7）。

3 算法仿真

為了驗證算法的有效性，采用3個人工源信號分別為：

s1＝sin（36＊pi＊k／Fs）；

s2＝sin（18＊pi＊k／Fs）；

s3＝sin（1.8＊pi＊k／Fs）＊sin（60＊pi＊k／Fs）；

采樣頻率為1kHz，混合矩陣A為隨機產生。

n1（k），n2（k）為非高斯有色噪聲，并滿足ARMA（2，2）模型：

e（k）滿足指數非高斯分布。

粒子群算法參數設置：粒子維數為D＝9，種群個數為K＝20，粒子每一維限制在［－1，1］，c1＝c2＝2，r1，r2為［0，1］之間的隨機數，慣性權重系數umax＝0.8，umin＝0.3。最大迭代次數tsum＝100，算法運行40次。

源信號波形圖如圖3所示。

加噪后的觀測信號X（t）如圖4所示。

去噪信號x（t）如圖5所示。

分離信號如圖6所示。

圖3 源信號波形圖

圖4 加噪觀測信號

圖5 去噪混合信號

圖6 分離信號

通過以上仿真實驗結果可以發現，文中提出的算法可以較好地使信號分離。由圖6可以發現，分離信號的幅度大小和順序與源信號不同，這是由于盲分離中的不確定性導致的，但這并不影響分離效果，因為信號波形承載著信號的主要信息。

粒子群算法收斂曲線如圖7所示。

圖7 粒子群算法收斂曲線

自然梯度算法收斂曲線如圖8所示。

為了驗證算法的有效性，我們定義了源信號和分離信號的相關系數來作為評判標準，見下式：

式中：sj，yi——分別是源信號和分離信號，相似度越大，說明分離效果越好。

由式（11）知，若ζij趨近于零，表明分離信號yi（t）與源信號sj（t）是不相關的。當ζij越接近1，說明相似度越大，分離效果越好。

圖8 自然梯度算法收斂曲線

分別采用粒子群優化算法和自然梯度優化算法對混合信號進行盲分離仿真實驗結果的比較，以及算法達到穩定時所需的最小迭代次數，見表1。

表1 不同優化算法比較

4 結 語

研究了非高斯有色噪聲下的盲信號分離算法，首先利用特殊定義下的復數域信號的四階累積量和方法來估計噪聲信號的AR模型參數，進而獲得去噪的混合信號。然后采用粒子群算法進行優化獲得分離信號，通過仿真實驗驗證了算法的有效性，同時，可以發現與傳統的采用自然梯度算法相比，基于智能優化算法的粒子群算法具有更快的收斂速度和分離精度。

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