巧解衛星變軌問題

朱志恒

衛星變軌問題是天體運動的綜合問題，也是高考的常見題型之一。衛星變軌問題可分為突變與漸變兩種情況。其中，衛星的突變問題知識點是學生比較難掌握的物理模型之一。這里講一種高效解決衛星變軌問題的方法，將復雜的衛星變軌問題分解為幾個簡單的基本問題，并得出相應推論，在解題時只需把相關推論進行組合即可。

一、地球衛星在不同圓軌道上的相關推論

地球衛星做圓周運動的向心力由地球對它的萬有引力提供。由基本方程易得：

定性分析可得：

推論1：做圓周運動的地球衛星，其向心加速度、線速度、角速度的大小均與軌道半徑反相關，與衛星的質量無關；其周期與軌道半徑正相關，與衛星質量無關。說明：該推論用于比較地球衛星沿不同圓軌道運行時相關運動學量大小。

二、地球衛星在橢圓軌道上的相關推論

由開普勒第二定律可知：

推論2：衛星沿橢圓軌道運行時，在遠地點的速度最小，在近地點的速度最大。

由開普勒第三定律可得：

推論3：地球衛星的運行周期與其半長軸（半徑）正相關。

說明：該推論用于比較沿橢圓運動的衛星與其它衛星的周期大小

三、地球衛星在不同軌道公共切點的相關推論

以一個橢圓軌道分別與兩圓軌道相切為例。（如圖）衛星在圓軌道Ⅰ上運行的線速度為v1，兩圓軌道與橢圓軌道Ⅱ相切于橢圓軌道的近地點P、遠地點Q，經P點時線速度為v2，經Q點時線速度為v3。在圓軌道Ⅲ上運行的線速度是v4。衛星沿軌道Ⅰ運行時，若要它經P點變到橢圓軌道Ⅱ，衛星應在P點做離心運動即萬有引力小于衛星做圓周運動所需的向心力；注意到在同一點，衛星所受萬有引力不變，可知衛星在該點所需的向心力要增大。再根據向心力公式易得衛星P點由軌道Ⅰ變到軌道Ⅱ時速度要增大，因此可知，v2>v1。

同理在Q點分析可知：v3

推論4：衛星沿不同軌道運動到公共切點處時，沿大軌道的速度較大。

說明：該推論用來比較不同軌道上的衛星經公共切點時的線速度大小

另外，由萬有引力定律可知，同一衛星經同一點時合外力相同，則加速度相同；而兩軌道相切于一點時，衛星的法向加速度恰等于其加速度，可知此時，二者的法向加速度（即向心加速度）也相同。綜上可得：

推論5：衛星沿不同軌道運動至公共切點處時，加速度相同，向心加速度也相同。

典例分析：

例1：如上圖（推論3中所用圖）所示，衛星由圓軌道Ⅰ經橢圓軌道Ⅱ變軌至圓軌道Ⅲ，P、Q為橢圓軌道的近地點和遠地點，v1、v4依次為圓軌道Ⅰ、圓軌道Ⅲ的線速度。v2、v3為衛星沿橢圓軌道Ⅱ經P、Q點時的線速度。則下列說法正確的是（ ）

A.衛星在橢圓軌道Ⅱ上經P點時的加速度比在圓軌道Ⅰ經P點時加速度大

B.衛星沿軌道Ⅱ經P點時的動能比沿圓軌道Ⅰ經P點時動能小

C.橢圓軌道Ⅱ的周期與圓軌道Ⅲ的周期相等

D.v1>v3

解析：由推論5知A錯；由圖可知橢圓軌道Ⅱ比圓軌道Ⅰ大，由推論4得衛星沿軌道Ⅱ經P點時的速度比沿圓軌道Ⅰ經P點時速度大，進而可知B錯；橢圓軌道Ⅱ的半長軸小于軌道Ⅲ的半徑，由推論3可知C錯；由推論1知v1>v4，由推論4知v4>v3，聯立得v1>v4>v3，D對。

例2：如圖所示是“嫦娥一號”衛星繞地飛行的三條軌道，軌道1是近地圓形軌道，2和3是變軌后的橢圓軌道。A點是2軌道的近地點，B點是2軌道的遠地點，衛星在軌道1的運行速率為7.7km/s，則說法正確的是：

A.衛星在2軌道經過A點時的速率一定大于7.7km/s

B.衛星在2軌道經過B點時的速率一定大于7.7km/s

C.衛星在3軌道所具有的機械能小于2軌道所具有的機械能

D.衛星在3軌道所具有的最大速率小于2軌道所具有的最大速率

解析：由于軌道1、2、3依次增大，由推論4得：衛星沿軌道1、2、3經過A點時線速度也依次增大，可知A正確；由推論4可知衛星在軌道2經B點的速度小于在軌道4的速度，因此衛星在軌道2經B點時的速度一定小于在軌道1的速度，故B錯誤；在A點，衛星的重力勢能相等，而由推論4知衛星在軌道3經A點的速度大于在軌道2經A點的速度，可知C錯誤；由推論2知衛星沿橢圓軌道2、3運動時速度最大的位置都在近地點A，又由推論4知衛星沿軌道3到A點的速度大于衛星沿軌道2到A點的速度，可得D錯誤。

（作者單位：甘肅省張掖市第二中學）