Gierer-Meinhardt模型的穩定分析和時空分歧

李海俠

（寶雞文理學院數學與信息科學學院，陜西寶雞721013）

Gierer-Meinhardt模型的穩定分析和時空分歧

李海俠

（寶雞文理學院數學與信息科學學院，陜西寶雞721013）

在齊次Neumann邊界條件下，討論了Gierer-Meinhardt模型的穩態分歧和Hopf分歧.給出了正常數解的穩定性.利用分歧理論、空間分解和隱函數定理研究了系統的單重和二重分歧，并且以d2為分歧參數考察了系統的Hopf分歧，得到了非齊次周期解存在的條件.

Gierer-Meinhardt模型；分歧；雙重特征值；Hopf分歧

0 引言

反應擴散系統的模式形成于包括化學和生物系統的各種機理中，是非線性物理學中最有趣的現象之一.因此，近幾十年來很多工作致力于模式的研究，比如文獻［1-3］研究了化學模型，文獻［4-7］研究了生物模型.

本文討論Gierer-Meinhardt模型

其中：Ω是RN中帶有光滑邊界?Ω的有界區域；ν是外單位法向量；u和v分別表示活化劑和抑制劑的濃度；b和m分別表示u和v的衰減率；d1和d2是擴散系數；參數d1，d2，b和m都是正常數；常數p，q， r，s滿足關系p＞1，q＞0，r＞0，s≥0，且；初值u0（x）和v0（x）是連續函數.

近年來，許多學者從數值模擬和理論分析上對系統（1）進行了廣泛的研究［8－12］.文獻［8］給出了系統正解的先驗估計和唯一性.文獻［9］研究了Gierer-Meinhardt模型內部峰值的動力學行為.文獻［12］在二維情況下討論了系統（1）的K-峰值不對稱模式的存在性和穩定性.

本文主要研究一維情況Ω＝（0，2π）下系統（1）的平衡態系統.為了方便起見，我們取p＝2，q＝1，r＝2，s＝0，則系統（1）的平衡態系統為

目前，關于系統（2）的穩態分歧和Hopf分歧的理論分析很少見，尤其是二重特征值的分歧.因此本文集中討論系統（2）的穩態分歧和Hopf分歧.

1 正常數解的穩定性

顯然，系統（2）有唯一正常數解U＊＝（u＊，v＊），這里.在此給出系統（2）的常數解U＊的穩定性.眾所周知，特征值問題

系統（2）在U＊處的線性化算子為

它的特征方程為

其中

定理1 下面的穩定性結果成立：

（?。┤绻鸼＜min｛d1λ1，m｝，則U＊漸近穩定.

（ⅱ）如果m＜b＜d1λ1，則U＊不穩定.

（ⅳ）記d2，i，ˉd2和I0如（ⅲ）所示.若m＜b＜m＋d1λ1，則對于0＜d2＜ˉd2，U＊不穩定.

證明 （ⅰ）因為b＜min｛d1λ1，m｝，所以b－m＜0.于是，對所有的d2＞0和i≥0，可知Ti（d2）＜0.由于b＜d1λ1，因此b＜d1λi，i≥1.于是當d2＞0和i≥1時，Di（d2）＝d2λi（d1λi－b）＋md1λi＋bm＞0.當d2＞0和i＝0時，D0（d2）＝bm＞0.因此，L（d2）的所有特征值有負實部.故對所有的d2＞0，U＊是漸近穩定的.

（ⅱ）由于b＜d1λ1，因此對所有的d2＞0，i≥1，Ti（d2）＜0.顯然在假設條件下，T0（d2）＝b－m＞0.另一方面，由（ⅰ）可知對所有的d2＞0，i≥0，Di（d2）＞0.所以，L（d2）有正實部的特征值.因此，對所有的d2＞0，U＊是不穩定的.

（ⅲ）首先，由b＜m可知對任意的i≥0，d2＞0，都有Ti（d2）＝－（d1＋d2）λi＋b－m＜0.當d2＞0和i＝0時，D0（d2）＝bm＞0.當1≤i≤I0時，D′i（d2，i）＝λi（d1λi－b）＜0.顯然，對任意的1≤i≤I0，Di（d2，i）＝0.所以當1≤i≤I0，d2＜ˉd2時，Di（d2）＝d1d2λ2i＋［md1－bd2］λi＋bm＞d1d2，iλ2i＋［md1－bd2，i］λi＋bm＝0.另一方面，當i＞I0時，結合I0的定義可得Di（d2）＝d2λi（d1λi－b）＋md1λi＋bm＞0.于是，對任意的i≥0，d2＜ˉd2，都有Di（d2）＞0.這就說明Li（d2）的所有特征值有負實部.因此，對所有的d2＞0，U＊是漸近穩定的.

（ⅳ）類似于（ⅲ）的證明方法可得，對任意的i≥0，0＜d2＜ˉd2，都有Di（d2）＞0.當d2＞0和i＝0時，由b＞m可知T0（d2）＝b－m＞0.另一方面，對任意的d2＜ˉd2，當1≤i≤I0時，由于T′i（d2，i）＝－λi＜0，且Ti（0）＝－d1λi＋b－m＜－d1λ1＋b－m＜0.所以Ti（d2）＜Ti（0）＜0.當i＞I0時，b－d1λi＜0.因此，Ti（d2）＝－（d2λi＋m）＋b－d1λi＜0.這就說明L（d2）有正實部的特征值.因此，對所有的d2＞0，U＊是不穩定的.

2 分歧解的存在性

我們利用分歧理論來研究系統（2）正常數解U＊處的分歧解.固定b，m，d1，將d2＞0作為分歧參數，利用局部分歧理論、空間分解和隱函數定理給出非常數正解的存在性.

令Y＝Lδ（0，2π）×Lδ（0，2π），內積為（U1，U2）Y＝（u1，u2）L2（0，2π）＋（v1，v2）L2（0，2π），其中U1＝（u1，v1），U2＝（u2，v2）∈Y.記X＝｛（u，v）∈W2，δ（0，2π）×W2，δ（0，2π）：ux＝vx＝0，x＝0，2π｝.定義映射F：R＋×X→Y為

易知系統（2）的解等價于F的零點.顯然，F（d2，U＊）＝0.下面假定b＞d1，于是存在正整數Id2使得b－d1λi＞0，1≤i≤Id2.令（3）式中的μ＝0，可得

定理2 假定b＞d1.取

（?。┤舸嬖谡麛礿，1≤j≤Id2，使得任意的整數i≠j，1≤i≤Id2都有dS2，i≠dS2，j成立，則（dS2，j，U＊）是F＝0的一個分歧點.當0＜｜s｜?1時，系統（2）存在非常數解曲線Γ2（s）＝（d2（s），u（s），v（s）），其中d2（s），u（s），v（s）是連續函數，且滿足d2（0）＝dS2，j，u（s）＝u＊＋sφj＋o（s），v（s）＝v＊＋sbjφj＋o（s），bj＝另外，在分歧點，U＊）的小鄰域內，F的零點集由兩條曲線｛（d2，U＊）｜d2＞0｝和Γ2（s）構成.

（ⅱ）若存在正整數i≠j，1≤i，j≤Id2，使得＝＝.令

如果1＋bib＊i≠0，1＋bjb＊j≠0，P1＋b＊j≠0，P2＋b＊i≠0，P3＋b＊i≠0，P2＋b＊j≠0，且j＝2i（或i＝2j），則（~d2，U＊）是F＝0的一個分歧點，且當0＜｜α－α0｜?1時，存在系統（2）的非常數解曲線（d2（α），U＊＋s（α）（cosαΨi＋sinαΨj＋W（α））），其中d2（α），s（α），W（α）是連續函數，且滿足d2（α0）＝~d2，s（α0）＝W（α0）＝0，這里α0是滿足如下條件的任意常數：

或

證明 （ⅰ）用類似于文獻［12］定理3的方法可證得.

（ⅱ）如果存在正整數i≠j，使得dS2，i＝dS2，j＝~d2，則此時

所以，dim kerL（~d2）＝codimR（L（~d2））＝2.顯然，局部分歧定理失效.現在，我們求助于空間分解和隱函數定理來討論二重分歧解的存在性.首先，做變換＾u＝u－u＊，＾v＝v－v＊.定義新的映射ˉF：R＋×X→Y為

接著，我們分解空間X為X＝X1⊕X2，其中

尋找ˉF＝0的形式為

的解，這里s，α∈R是參數.為了后面的需要，定義算子P：Y→X1為

根據投影的定義可驗證P是投影.于是，我們分解空間Y為Y＝Y1⊕Y2，其中Y1＝R（P）＝X1，Y2＝kerP＝R（L（~d2））.

我們應用隱函數定理證明非常數對（＾u，＾v）的存在性.固定α0∈R，定義非線性映射

為

其中

顯然，H（~d2，0，0；α0）＝0.而且，H（d2，s，W；α）關于（d2，s，W）在（~d2，0，0；α0）處的Fréchet導數

為

為了應用隱函數定理，我們需要證明線性映射H（d2，s，W）（~d2，0，0；α0）：R×R×X2→Y是雙射.為此，重記H（d2，s，W）（~d2，0，0；α0）（d2，s，W）＝y1＋y2，這里y1∈Y1，y2∈Y2.簡單計算可知

再分解

其中

接下來，分兩種情況討論：

分解

其中：

易知L（~d2）：X2→Y2是雙射.假設：

首先，我們證明L＝H（d2，s，W）（~d2，0，0；α0）是單射.令L（d2，s，W）＝0，則y1＝0，y2＝0.由于cosα0≠0，（c1c3biλi＋2c2c4bjλj）sin2α0≠c1c3biλi.所以由y1＝0易知d2＝0，s＝0.將d2＝0，s＝0，帶入y2＝0中可得W＝0.于是，L是單射.

其次，證明L是滿射.需要證明對任意的（y，z）∈Y，存在（d2，s，W）∈R×R×X2，使得

由Y的分解可知存在β，γ∈R和（y0，z0）∈Y2，使得

將上式帶入（7）式可得

由（8）式的前兩個式子可得

由于當j＝2i時α0滿足（4）式，所以上式有意義.再將＾d2，＾s帶入到（8）式的第三個式子中得

這里

于是，（d2，s，W）＝（＾d2，＾s，L－1（~d2）（＾y，＾z）T）.因此，L是滿射，即L是雙射.由隱函數定理可知H（d2，s，W；α）＝0，在α0的小鄰域內有非常數解（d2（α），s（α），W（α）），滿足d2（α0）＝~d2，s（α0）＝W（α0）＝0，這里α0滿足（4）式.而且，d2（α），s（α），W（α）是連續可微函數且W∈X2.因此，（d2（α），U＊＋s（α）（cosαΨi＋sinαΨj＋W（α）））是F＝0的非常數正解.

（B）i＝2j.類似于（A）的證明過程可得，如果α0滿足（5）式，則應用隱函數定理可知這種情況的結論也成立.

最后，用類似于文獻［13］定理4的方法將定理2（?。┲械木植糠制缪油貫槿址制?

3 Hopf分歧

我們討論系統（2）的常數解U＊的Hopf分歧周期解的存在性.令α（d2）＋iβ（d2）是L（d2）的復特征值，即方程（3）的復根，則.由文獻［14］可知如果存在整數i0≥0和dH2＞0使得

證明 顯然，T1（dH2，1）＝0，對于所有的i≥2都有Ti（）≠0.而且，對所有的d2＞0，在假設條件下T0（d2）＝b－m＞0.由于對于所有的d2＞0，D0（d2）＝bm＞0.因此，我們只需要驗證D1（）＞0和對所有的i≥2，Di（dH2，1）≠0即可.將帶入到D1）中，經過簡單計算可知D1（）＞0等價于

I＝2d11－b＋md1.將帶入到I＝0中，整理可得

最后證明α′（dH2，1）≠0.對于i＝1，系統（3）在d2＝dH2，1附近的共軛復根為.因此，系統（2）在點（dH2，1，U＊）處產生Hopf分歧，即在常數解U＊附近系統（2）產生非齊次周期解.

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Stability analysis and spatially bifurcation for a Gierer-Meinhardt model

LI Hai-xia
（Institute of Mathematics and Information Sciences，Baoji University of Arts and Sciences，Baoji 721013，China）

The steady-states bifurcations and Hopf bifurcation for a Gierer-Meinhardt model with homogeneous Neumann boundary conditions are considered.The stability of the positive constant solution is discussed.Furthermore，the bifurcations from simple and double eigenvalues are investigated by means of the combination of the simple bifurcation theory，space decomposition and implicit function theorem.Finally，by regarding d2as a bifurcation parameter，we study the Hopf bifurcation and obtain the conditions of the existence of inhomogeneous periodic solution.

Gierer-Meinhardt model；bifurcation；double eigenvalue；Hopf bifurcation

O 175.26 ［學科代碼］ 110·4730

A

（責任編輯：陶 理）

1000-1832（2015）03-0026-07

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.006

2014-09-23

中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（GK2013 02025）；陜西省教育廳專項科研計劃項目（14JK1035）；寶雞文理學院重點科研項目（ZK15039）.

李海俠（1977—），女，博士，講師，主要從事偏微分方程計算及其可視化研究.