用計算軟件Xppauto輔助大學物理教學

唐 軍 葉世旺 黃志敏 郭治天

（中國礦業大學理學院，江蘇 徐州 221116）

近年來，飛速發展的新媒體技術廣泛滲透到我們生活的方方面面，這其中就包含教育教學領域.今天的課堂與20年前的課堂存在巨大的差異，這種差異體現在多種新媒體技術的使用.課件、教學網站、公共電郵、多媒體影像、動畫等新媒體技術的產物廣泛地出現在課堂以及其他學習場所.而更重要的是教師或學生已經不把這些新媒體使用看成是時髦或先進手段的使用，而只是自然而隨性的行為.比如，計算機軟件在教學中的使用已經不局限于特定的教育軟件，各種不同類型的軟件包括圖形軟件、可視編程軟件，甚至科學計算軟件也可以在特定的需求下輔助教學過程[1-6].《普通物理學》或《大學物理》是高校各專業的一門重要基礎課.物理學科包含很多抽象的概念和復雜的數學公式[7]，一些形象的圖像、視頻媒體有助于學生來理解抽象的物理概念[8-10].因此，計算機輔助教學在物理教學中占有很重要的地位[11-13].本文結合自身在高校教學科研中的實踐，介紹了如何將一款可免費獲取的科學計算軟件應用于大學物理的教學中.

1 Xppauto軟件

Xppauto計算軟件是一款數值解微分方程的科學計算軟件，應用它可以采用不同的差分方法（包括歐拉法、龍格庫塔法等）來解不同類型的非線性系統，包括積分方程、微分方程、延遲微分方程、隨機微分方程等[6].該軟件還能對自治系統進行分岔分析、相圖分析等.與其他流行計算軟件，比如Mathmatica、Matlab相比較，該軟件具有如下特點：

（1）該軟件可完全免費獲取，該軟件由匹茲堡大學數學系免費提供.當下，一些流行的計算軟件往往非常昂貴，與之相比Xppauto降低了從事非線性系統分析研究的門檻.該軟件下載網址為：http：／／www.math.pitt.edu／～bard／xpp／xpp.html.網站中包含了該軟件的英文使用手冊，以及一些示例.因為該軟件是非營利性軟件，至今未有中文版使用手冊.

（2）該軟件不需要復雜的編程.對于給定的模型，只要把相關的方程以直觀的方式寫成一個ODE格式的文件，就可以應用該軟件進行分析.

（3）與商業軟件相比，Xppauto并不具有友好的界面.這一點對于長期從事非線性物理研究的科技工作者來說并不是問題.通過長期的科研實踐，科研工作者已經對該軟件非常熟悉.

（4）該軟件支持直觀的動態改變參數.在動態改變參數后，系統會實時對相關圖像進行重畫，這能從一定程度上凸顯動畫的效果，使演示過程直觀形象.

2 應用Xppauto軟件輔助物理教學

2.1 阻尼振動和受迫振動

在阻尼振動的教學中，需要認識和理解過阻尼、欠阻尼、臨界阻尼3種不同的阻尼情況；在受迫振動中理解其穩定狀態和共振行為.振動方程可以寫成[5]

其中，x為振動位移；δ為阻尼因子；ω0為系統固有頻率；F0為外部周期力的幅度；ωd為驅動頻率.這里我們令y＝dx／dt，上述方程能改寫成如下一階方程組

該方程組寫成ODE文件為

其中，第一、二行是兩個微分方程；第三行是規定各個參數的初始值；第四、五行給方程變量賦初值；第六行規定數值計算的總時間、計算時間步長、畫圖橫縱軸的范圍，以及總數據量，第七行規定畫圖的橫縱軸.

如圖1所示，可以看出，Xppauto的主窗口是x的時間演化窗口，下面提供3個參數條用來進行實時的參數調節，參數調節只需用鼠標拉動相應狀態條即可.在圖1中，F0＝0表示無外部驅動力，delta＝0表示無阻尼，此時系統應該以固有頻率作諧振動.

為了演示阻尼振動，我們仍然讓參數條1中的驅動力幅值等于零，然后通過拉動參數條3改變阻尼因子.如圖2（a）所示，δ＝0.06小于系統固有頻率ω0＝0.8，為欠阻尼振蕩；圖2（b）中δ＝ω0為臨界阻尼；相應的圖2（c）為過阻尼情況.更重要是的，我們可以通過拉動參數條3連續改變阻尼，來演示從欠阻尼到過阻尼的連續變化過程.因為Xppauto中參數發生變化后，系統會實時重畫振動圖.

進一步為了演示受迫振動以及共振，我們通過參數條1將F0設置為1，并將δ設置為欠阻尼情況.通過數條2的拉動改變策動力頻率ωd.從圖3（a）到（c）讓ωd逐漸增加，可以看出當ωd接近ω0時振幅達到了最大，這是典型的振幅共振行為.

2.2 相互垂直諧振動合成

兩個相互垂直諧振動合成后，質點的運動軌跡形成李薩如圖形.兩振動的方程寫成[5]

圖1 Xppauto的窗口示意圖

圖2 不同阻尼的演示

圖3 受迫振動及共振的演示

其中，A1，ω1，φ1，A2，ω2，φ2分別是兩諧振動的振幅、頻率、初相.相應的ODE文件為

因為Xppauto是解微分方程的，所以ODE文件中必須要有微分方程，而本應用沒有微分方程，所以在程序第一行定義了一個虛擬方程.李薩如圖形的形成主要是ω1、ω2成一個整數倍關系.這里設定ω2＝1，通過改變ω1形成不同的李薩如圖形.如圖4所示，是不同倍頻的李薩如圖形.同樣，在拉動參數條改變參數ω1的過程中能看到李薩如圖形的實時變換.

圖4 不同倍頻的李薩如圖形

2.3 單縫衍射和光柵衍射

光的夫瑯禾費衍射教學是大學物理中的難點，同時也是重點內容.在討論光強分布時過于抽象，如果能輔以動態可變的圖形曲線，有助于學生形象認識單縫衍射、光柵衍射圖樣的影響因素以及它們之間的關系.理論上，光柵衍射的光強分布應滿足[5]

其中，上式中

上式中，θ為衍射角，a為縫寬，d為光柵常數，λ為入射波長，N為縫數.ODE文件為

我們借用時間變量t作為衍射角θ，而為了反映衍射角在零值附近的對稱性，令θ＝t-0.5，因此，所演示的θ介于-0.5和0.5之間.另外這里之所以選擇dt為小數點后面多位，是為了避開計算到t＝0時使得I發散.

首先，演示單縫衍射，我們必須將縫數固定在1.如圖5，通過參數條1將縫數固定設為1，然后通過參數條2來改變縫寬a，比較圖5中的子圖會發現，條紋寬度會隨著縫寬的增加而減小.

圖5 單縫衍射光強分布

圖6 雙縫干涉光強分布

然后我們要演示雙縫干涉實驗，縫數N必須為2，此時將單縫的寬度設置的足夠?。╝＝0.004），以減小單縫衍射對雙縫干涉的調制作用.如圖5所示，通過拉動參數條3改變縫間距演示條紋間距隨著縫間距的增加而減小.

最后，我們來演示光柵衍射.可以通過3個參數條來改變縫數N，縫寬a，以及縫間距d，以此來反映這些參數對于光柵衍射的影響.作為示例，我們在圖6中演示了對于給定的a和d，縫數N對于光柵衍射的影響.從中可以明顯看出光柵衍射中單縫衍射對多縫干涉的調制作用，以及隨著N的增加主極大之間的次級大數目的變化，如圖7所示.

圖7 不同縫數N的光柵衍射的光強分布

3 結語

作者結合自身從事大學物理教學的實踐經驗，介紹了如何應用一款免費計算軟件Xppauto輔助教學，并介紹了幾個教學示例.高校教師除了教學外，往往都有繁重的科研任務，將自己在科研中長期使用并且非常熟悉的軟件或方法用于教學是一種省時省力的好嘗試.Xppauto雖然只是一款免費的軟件，它卻在演示圖形變化方面具有優勢.主要體現在它不僅編程簡單，而且可以鼠標拉動來調節多個參數，參數值調整后能進行實時重畫.這些優勢使得它在刻畫某一因素對系統影響時具有非常直觀的特點.對于高校教師來說，將科研和教學工作整合起來是必要的，本文的工作是從一個側面的經驗.

[1]袁慶新，杜銀霄，曾凡光.任意三角形線電荷的電場分布[J].大學物理，2013，32（8）：29-31.

[2]郭陽雪，孔祥洪，楊渭，等.Origin軟件在大學物理實驗數據處理中的應用[J].物理與工程，2012，22（4）：24-26.

[3]侯春枝，楊肖，宋海珍，等.Matlab軟件在物理實驗數據處理中的應用[J].物理與工程，2013，23（4）：19-22.

[4]黃篤之，周沛鋒，付學政.光學偏振實驗仿真設計[J].大學物理實驗，2003，16（4）：66-68.

[5]余春日，余婧冰，張繼椿.用幾何畫板研究電子在正交電場和磁場中的運動[J].物理與工程，2012，22（6）：27-34.

[6]蔣衛建，胡昉，方本民.在大學物理課程中利用Excel電子表格作數值計算[J].物理與工程，2011，21（3）：39-42.

[7]程守洙，江之永.普通物理學：上，下冊[M].6版.北京：高等教育出版社，2009.

[8]何杰，宋立濤.單縫夫瑯禾費衍射實驗的計算機輔助教學[J].大學物理實驗，2010，23（6）：69-71.

[9]劉振祥，楊棟.平行板電流電感梯度的近似計算與仿真[J].物理與工程，2013，23（1）：33-35.

[10]武荷嵐.信息技術支持下的物理學與教的研究[D].上海：華東師范大學，2008.

[11]張綠島，葉子飄.計算機輔助物理教學中存在的問題及對策[J].大學物理實驗，2005，18（2）：94-96.

[12]吳賀君.網絡平臺系統物理學課程的探討[J].長春師范學院學報（自然科學版），2009，28（3）：107-109.

[13]張彩霞.由大學物理多媒體教學實踐所引發的思考[J].物理與工程，2012，22（4）：41-43.