平面直角坐標系重難點突破

秦玉芳

平面直角坐標系的建立架起了數與形之間的橋梁，是數形結合的具體體現，也是后面進一步研究函數及函數圖像的基礎，它在整個初中數學學習中起著舉足輕重的作用.為了讓同學們更好地掌握本章內容，下面給同學們解讀一下幾個難點：

難點一 物體位置的確定

我們根據實際問題，用“標志物定位法”、“行列定位法”、“方向角、距離定位法”、“經緯定位法”等方法來確定物體的位置.

（1）我們通常用數對在一個選定了參照物的平面內描述物體的位置及其位置變化的情況.

（2）用一個數據可以確定一條直線上點的位置.但確定平面內點的位置必須要兩個數據，平面內點位置與一對有序實數之間存在一一對應關系.

例1 如圖，雷達探測器測得六個目標A、B、C、D、E、F出現.按照規定的目標表示方法，目標C、F的位置表示為C（6，120°）、F（5，210°）.按照此方法在表示目標A、B、D、E的位置時，其中表示不正確的是（ ）

A.A（5，30°） B.B（2，90°） C .D（4，240°） D.E（3，60°）

【分析】 C（6，120°），F（5，210°），依據此規律可知A（5，30°），B（2，90°），D（4，240°），E（3，300°）因此不正確的是E點的表示方法.故選D

【點評】本題考查的是閱讀理解能力，由已知條件正確確定坐標軸的位置是解決本題的關鍵.

難點二 直角坐標系中點的對稱關系

一般地，點P（a，b）關于x軸對稱的點為 P′（a，-b），關于y軸對稱的點為P′′（-a，b），關于原點對稱的點為P′′′（-a，-b）.

例2 已知△ABC在直角坐標系中的位置如右圖所示，如果△A′B′C′與△ABC關于y軸對稱，那么點A的對應點A′的坐標為（ ）

A.（-4，2） B.（4，2） C .（-4，-2） D.（4，-2）

【分析】根據點的對稱規律答題.關于y軸對稱的點縱坐標相等，橫坐標互為相反數，因此點A（-4，2）關于y軸對稱的點的坐標是（4，2）.故選B.

【點評】此題主要考查了坐標與圖形的變化即關于y軸對稱，利用關于y軸對稱點的坐標性質是解題關鍵.

難點三 圖像變換中點的坐標

（1）平移變換前后對應點的坐標變化規律：

一個圖形沿x軸（或沿平行于x軸的直線）平移m個單位長度后所得到的圖形與原圖形的對應定點坐標之間的關系是：各對應頂點的縱坐標不變，橫坐標分別減去或加上m（向左平移用減法，向右平移用加法）.

一個圖形沿y軸（或沿平行于y軸的直線）平移m個單位長度后所得到的圖形與原圖形的對應定點坐標之間的關系是：各對應頂點的橫坐標不變，縱坐標分別減去或加上m（向下平移用減法，向上平移用加法）.

（2）對稱變換前后對應點的坐標的變化規律：

一個圖形沿x軸對著，則翻折前后兩個圖形的對應頂點坐標之間的關系是：橫坐標相等，縱坐標互為相反數.

一個圖形沿y軸對著，則翻折前后兩個圖形的對應頂點坐標之間的關系是：縱坐標相等，橫坐標互為相反數.

（3）在同一直角坐標系中，一個圖形繞原點旋轉180°，則旋轉前后兩個圖形的對應頂點坐標之間的關系是：橫坐標和縱坐標都互為相反數.

例3 如圖，在平面直角坐標系中，圖①中的圖案“A”中，O（0，0），B（4，0），C（2，4），M（1，2），N（3，2），圖②和③都是由圖①變換而得到：

（1）圖②中與點M，N對應的點的坐標分別是__________.

（2）圖③中與點M，N對應的點的坐標分別是__________.

（3）在圖④中畫出由圖①中圖形向右平移3個單位后的圖形，并寫出此時點M，N對應的點的坐標.

【分析】（1）由于C點的坐標是（2，4），C′點的坐標是（4，4），所以M、N兩點的坐標縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的2倍即可；

（2）根據關于x軸對稱的點的坐標特點求出圖③中與點M，N對應的點的坐標即可；

（3）根據圖形平移的性質畫出向右平移3個單位后的圖形，根據圖形寫出點M，N對應的點的坐標即可.

解（1）∵由于C點的坐標是（2，4），C′點的坐標是（4，4），

∴M、N兩點的坐標縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的2倍，

∵圖①中M（1，2），N（3，2），

∴圖②中，M（2，2），N（6，2），

故答案為：（2，2），（6，2）；

（2）∵△OBC′由△OBC沿x軸翻折而成，

∵圖①中M（1，2），N（3，2），

∴圖③中與點M，N對應的點的坐標分別是 （1，-2），（3，-2）.

故答案為：（1，-2），（3，-2）；

（3）如圖所示，坐標為（4，2），（6，2）.

【點評】本題考查的是作圖-平移變換，熟知圖形平移后所得新圖形與原圖形全等的性質是解答此題的關鍵.