巧求平面直角坐標系等腰三角形的第三個頂點

王君梅

已知平面直角坐標系中的兩點，在平面上找出符合某些條件的另一個點，使得以這三點為頂點的三角形為等腰三角形.在中考中常作為選擇題、填空題或解答題的壓軸題.由于第三點的圖形未知，一些同學感到難以下手，還有一些同學能做到答案，不過答案不完整，究其原因，實質是未能掌握解決問題的一般方法，從而出現錯解與漏解.其實，在解這類題目時，關鍵是要分情況討論已知線段可能是所求等腰三角形的底也可能是它的腰.為了幫助學生掌握這一題型的特征和解法，本文篩選了幾道例題（或其變式題），對其類型與解法予以剖析，供參考.

例1：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A（1，1），在x軸上確定一點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有（ ）

A.4個 B.3個 C.2個 D.1個

分析：此題應該分情況討論.以OA為腰或底分別討論.

解答：（1）若AO作為腰時，有兩種情況，

①當A是頂角頂點時，P是以A為圓心，以OA為半徑的圓與x軸的交點，共有1個，若OA是底邊時，P是OA的中垂線與x軸的交點，有1個

②當O是頂角頂點時，P是以O為圓心，以OA為半徑的圓與x軸的交點，有1個；

（2）若OA是底邊時，P是OA的中垂線與x軸的交點，有1個.

以上4個交點沒有重合的.故符合條件的點有4個.

故選：A.

點評：此題主要考查了坐標與圖形的性質及等腰三角形的判定；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論.

變式1：本題若在x軸上確定一點P改成在y軸上確定一點P ， 符合條件的點P共有幾個？

解答：方法同上，有四個.

變式2：本題若在x軸上確定一點P改成在坐標軸上確定一點P ， 符合條件的點P又有幾個？

解答：方法同上，有八個.

變式3：在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（2，0）、（2，4），點P在坐標軸上，△ABP是等腰三角形，符合條件的點P共有 個.

解答：由點A、B的坐標可得到AB⊥x軸，AB=4，然后分類討論：若AP=AB，滿足△ABP是等腰三角形的P點有4個；

若BP=AB滿足△ABP是等腰三角形的P點有2個；若PA=PB，滿足△ABP是等腰三角形的P點有1個.

所以點P在坐標軸上，△ABP是等腰三角形，符合條件的點P共有 7個.

故答案為7.

變式4：在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（0，3）、點P為坐標軸上一點，則以A、B、P為頂點的等腰三角形有 個.

解答：建立平面直角坐標系，在平面直角坐標系中，作出點A和點B，點P為坐標上的點，連接AB，如圖，以AB為腰的三角形有4個，分別是△ABP1，△ABP2，△ABP3，△ABP4；以AB為底的三角形有兩個，分別是△ABP5，△ABP6.

因此，以點A、B、P為頂點的等腰三角形共有6個.

故填6.

例2：在平面直角坐標系中，點A坐標為（1，0），在直線y= x上取點P，使△OPA是等腰三角形，求所有滿足條件的點P坐標.

分析：根據等腰三角形的腰長不明確，所以分①OP=OA，②AP=OA，③線段OA的垂直平分線與直線的交點，三種情況進行討論求解.

點評：本題考查了正比例函數圖形的性質與等腰三角形的判定，根據腰長的不確定性，注意分情況進行討論.

例3：如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（5，4），點P為BC上動點，當△POA為等腰三角形時，點P坐標為 .

分析：當PA=PO時，根據P在OA的垂直平分線上，得到P的坐標；當OP=OA=5時，由勾股定理求出CP即可；當AP=AO=5時，同理求出BP、CP，即可得出P的坐標.

解答：當PA=PO時，P在OA的垂直平分線上，P的坐標是（2.5，4）；

當OP=OA=5時，由勾股定理得：CP= =3，

P的坐標是（3，4）；

當AP=AO=5時，同理BP=3，CP=5﹣3=2，

P的坐標是（2，4）.

故答案為：（2.5，4），（3，4），（2，4）.

點評：本題主要考查對矩形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，坐標與圖形的性質等知識點的理解和掌握，能求出所有符合條件的P的坐標是解此題的關鍵.