平面直角坐標(biāo)系中數(shù)形結(jié)合思想之巧用

薛朝暉

數(shù)形結(jié)合思想，是研究數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，巧用平面直角坐標(biāo)系能將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，有效地相互轉(zhuǎn)化，一些看似無(wú)法入手的問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.

一、 巧用平面直角坐標(biāo)系于解不等式

例1 解不等式

【評(píng)析】 此題直接求解要分x>0，x<0兩種情況去求解.學(xué)生易把x的取值當(dāng)成大于零來(lái)去分母，原不等式變形為 ，顯然結(jié)果會(huì)求錯(cuò)取值范圍.建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) 求得雙曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo).利用兩個(gè)函數(shù)圖像的高低關(guān)系求得不等式的解.

【解】 設(shè) 畫(huà)出函數(shù)的圖像，如圖1，令 ，化為 ， ，得 .從而可得兩個(gè)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），（-3，-1）.觀察圖像，應(yīng)使y1的圖像高于y2的圖像，當(dāng)0

二、 直角坐標(biāo)系用于軸對(duì)稱中

例2 已知點(diǎn)A（﹣1，2）和B（﹣2，﹣1），試在y軸上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【評(píng)析】 要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只要找點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'B交y軸于點(diǎn)P，大部分學(xué)生知道方法，但在求解點(diǎn)P坐標(biāo)時(shí)方法太繁，易求錯(cuò).采用一次函數(shù)可快速高效解決問(wèn)題.

【解】 如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'B交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最小。設(shè)直線A'B為y=kx+b（k≠0）.因?yàn)辄c(diǎn)A（﹣1，2）與點(diǎn)A'關(guān)于y軸對(duì)稱，所以A'（1，2），將A'和B的坐標(biāo)代入解析式，解得k=1，b=1.所以解析式為y=x+1，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，所以P（0，1）.

三、 巧用直角坐標(biāo)系求線段的長(zhǎng)

例3 已知正方形的邊長(zhǎng)為1，（1）如圖3（a），可以計(jì)算出正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為 ，如圖2（b），求兩個(gè)正方形并列排成的矩形對(duì)角線的長(zhǎng)，n個(gè)呢？（2）若把圖2（c）、（d）兩圖拼成如圖4的“L”形，過(guò)點(diǎn)C作直線交DE于A，交DF于B，若DB= ，求DA的長(zhǎng)度.

【評(píng)析】（1）略.（2）對(duì)于八年級(jí)學(xué)生來(lái)講，沒(méi)有學(xué)習(xí)相似，難以下手.本題巧妙建立平面直角系，求AD就易如反掌了，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸，BD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，就可以用一次函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決.

【解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DE所在直線為x軸，DF所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖4，可得B（0， ）， C（1，﹣1）.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將B、C的坐標(biāo)代入，解得k= ，b= 所以y= x .當(dāng)y=0時(shí)， x- =0，得x= ，所以A（﹣ ，0），得AD= .

例4 在東西方向的海岸線l上有一長(zhǎng)為1km的碼頭MN（如圖5），在碼頭西端M的正西19.5km處有一觀察站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線航行的輪船位于A的北偏西30?，且與A相距40km的B處；經(jīng)過(guò)1小時(shí)20分鐘，又測(cè)得該輪船位于A的北偏東60?，且與A相距 km的C處.

（1） 求該輪船航行的速度（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2） 如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【評(píng)析】（1）略.（2）過(guò)點(diǎn)B、C兩點(diǎn)分別作BD⊥直線l于D，CE⊥直線l于E，則可得AD=20km，BD=20 km，CE=4 km，AE=12km。大多數(shù)學(xué)生采用相似解決問(wèn)題。可以利用△FCE∽△FBD，從而求得EF的長(zhǎng).但是在尋找相似三角形時(shí)，易搞錯(cuò)對(duì)應(yīng)邊，從而求錯(cuò)。還有部分同學(xué)求得的EF長(zhǎng)誤以為是AF的長(zhǎng)，導(dǎo)致失分.因此，建立如圖5所示平面直角坐標(biāo)系，則B（-20，20 ），C（12，4 ）。直線BC交x軸于F，要求AF的長(zhǎng)，只要求得直線BC的解析式，然后求得直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得AF的長(zhǎng)。

【解】建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系，則B（-20，20 ），C（12，4 ）.

設(shè)直線BC為y=kx+b（k≠0），將B、C坐標(biāo)代入，解得直線BC的解析式為y= x+10 .當(dāng)y=0時(shí)， x+10 =0，得x=20.所以AF=20.可見(jiàn)AM

解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于抓住題設(shè)圖形、分析已知條件，從幾何圖形的結(jié)構(gòu)中尋求建立函數(shù)關(guān)系式所需要的數(shù)量關(guān)系，巧建平面直角坐標(biāo)系能只用幾筆簡(jiǎn)捷的線條就可以表達(dá)出需要“長(zhǎng)篇大論”的證明所表達(dá)的變化規(guī)律.

在初中數(shù)學(xué)中，由于平面直角坐標(biāo)系的引入，架起了數(shù)與形之間的橋梁，使得我們可以用幾何的方法研究代數(shù)問(wèn)題，又可以用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題.平面直角坐標(biāo)系加強(qiáng)了數(shù)與形之間的聯(lián)系，它是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具.