一次函數(shù)例題剖析

李如

問題2 ：甲、乙兩家公司出租汽車收取的租車費(fèi)y1（元）、y2（元）都是用車歷程x（千米）的函數(shù)，它們的圖像如圖（1）.

（1） 用車?yán)锍潭嗌贂r(shí)，甲、乙兩公司的租車費(fèi)相等？

（2） 用車?yán)锍潭嗌贂r(shí)，甲公司的租車費(fèi)用比乙公司少？

（3） 用車?yán)锍潭嗌贂r(shí)，乙公司的租車費(fèi)用比甲公司少？

例題分析：問題2中提出的三個(gè)問題都是對兩家公司的租車費(fèi)用的比較.在進(jìn)行比較的時(shí)候，其實(shí)有一個(gè)默認(rèn)的前提——在相同的用車?yán)锍滔逻M(jìn)行比較，否則沒有意義.也就是說我們是在同樣的x取值下比較y值.相同的x取值反映在坐標(biāo)系中是在同一條垂直于x軸的直線上.例如圖（2），在x取值為a時(shí)，y1、y2的取值分別為c、b.當(dāng)a的取值從0開始變大，這條垂直于x軸的直線也隨之向右移動，我們只要根據(jù)兩個(gè)函數(shù)值大小情況的變化進(jìn)行分類就可以解決這個(gè)問題.

問題延伸：

（1）根據(jù)圖像中的數(shù)據(jù)，分別求出兩個(gè)一次函數(shù)的關(guān)系式，說說它們的實(shí)際意義；

（2）觀察兩個(gè)圖像與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，說說這兩個(gè)點(diǎn)實(shí)際意義的理解.這個(gè)意義在兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式中是如何體現(xiàn)的？

（3）隨著x的增大（即從左往右看），兩個(gè)函數(shù)圖像都在上升，為什么會上升？兩個(gè)函數(shù)圖像上升的“速度”一樣嗎？這跟它們的關(guān)系式有什么聯(lián)系？

（4）現(xiàn)在有一家特殊的租車公司丙，由于簽訂了車身的廣告合同，租車人在租車時(shí)行駛時(shí)就相當(dāng)于在做廣告.為了鼓勵(lì)租車人行駛更多的歷程，丙公司制定了如下的租車方案：用戶在租車時(shí)先繳納1000元的預(yù)付款，每行駛一公里公司獎勵(lì)租車人0.5元（相當(dāng)于租車人每公里再付-0.5元的費(fèi)用），如果行駛里程足夠長，租車人甚至可以從丙公司得到若干費(fèi)用（相當(dāng)于付出的總費(fèi)用為負(fù)數(shù)）.還有一家租車公司丁采用了與丙公司類似的費(fèi)用方案：不收取租車人的費(fèi)用，租車人每行駛1公里公司付給租車人1元的費(fèi)用.請你根據(jù)實(shí)際意義分別列出在丙公司租車的費(fèi)用y3（元）y4（元）與行駛里程x（千米）的函數(shù)關(guān)系式；畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，對比四個(gè)函數(shù)關(guān)系式說說一次函數(shù)關(guān)系式中一次項(xiàng)系數(shù)對函數(shù)圖像的影響.

解析：

（1）y1=x，表示每行駛1公里，租車人要向甲公司付出1元租車費(fèi)用；y2=0.5x+1000，表示乙公司的租車費(fèi)用分兩個(gè)部分：租車人每行駛1公里要向乙公司付出1元租車費(fèi)用，同時(shí)還要在總費(fèi)用中加上1000元的固定費(fèi)用；

（2）圖像與y軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，其實(shí)際意義為行駛里程為0時(shí)要付出的費(fèi)用分別為0元、1000元；這兩個(gè)數(shù)據(jù)在解析式中分別是兩個(gè)函數(shù)解析式中的常數(shù)項(xiàng)；

（3）隨著里程x（千米）的增加，費(fèi)用y（元）也在增加（分別是每公里增加1元、0.5元）. 在平面直角坐標(biāo)系中，x的增加表示點(diǎn)在向右移動，y的增加表示點(diǎn)向上移動，所以兩個(gè)函數(shù)圖像上越向右越高，即從左到右圖像上升；函數(shù)y1=x圖像上升的“速度”更快；根據(jù)實(shí)際意義函數(shù)圖像的上升是由于1和0.5的存在影響的，對比一下：1﹥0.5，而函數(shù)y1=x圖像上升的“速度”更快，得到猜想：一次項(xiàng)系數(shù)決定著圖像上升（隨著后面問題的深入，也可能是下降）的速度；

（4）y3=-0.5x+1000，y4=-x；如圖（3）兩個(gè)函數(shù)圖像與前兩個(gè)函數(shù)圖像畫在同一平面直角坐標(biāo)系中；對比函數(shù)y1=x 和函數(shù)y4=-x圖像，一次項(xiàng)系數(shù)分別為1和-1，這兩個(gè)數(shù)絕對值相同，只有符號不同.兩個(gè)函數(shù)圖像分別上升和下降，而且上升下降的速度相同，由此得出一次項(xiàng)系數(shù)的符號決定著一次函數(shù)圖像的上升或下降.對比函數(shù)y2=0.5x+1000和函數(shù)y3=-0.5x+1000的圖像可以驗(yàn)證這種認(rèn)識.把函數(shù)y1=x 和函數(shù)y4=-x的圖像作為一組、函數(shù)y2=0.5x+1000和函數(shù)y3=-0.5x+1000的圖像作為另一組，每組函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)絕對值相同，兩者比一次項(xiàng)系數(shù)較絕對值大的前一組圖像上升或下降的速度更快.根據(jù)這種對比我們得出關(guān)于一次項(xiàng)系數(shù)的另一種認(rèn)識：一次函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)的絕對值決定著函數(shù)圖像上升或下降的速度，絕對值越大，圖像上升或下降的速度也越快.