生活中的一次函數(shù)應(yīng)用

趙黎明

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是重要的基礎(chǔ)知識(shí)和重要的數(shù)學(xué)思想，與生活中的實(shí)際問(wèn)題有著極為廣泛的聯(lián)系，是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題間的紐帶和橋梁，也是中考數(shù)學(xué)試卷中不可缺少的重要內(nèi)容.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是在理解題意、分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，正確找出已知量與未知量間的相等關(guān)系，把生活中的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，從而建立數(shù)學(xué)模型.

一、分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題

例1 某市為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，采用分段計(jì)費(fèi)的方法按月計(jì)算每戶(hù)家庭的水費(fèi)，月用水量不超過(guò)20 m3時(shí)，按2元/ m3計(jì)費(fèi)；月用水量超過(guò)20 m3時(shí)，其中的20 m3仍按2元/ m3收費(fèi)，超過(guò)部分按2.6元/ m3計(jì)費(fèi).設(shè)每戶(hù)家庭用水量為x立方米時(shí)，應(yīng)交水費(fèi)y元.

（1）分別求出 和 時(shí)， 與 的函數(shù)表達(dá)式；

（2）小明家第二季度交納水費(fèi)的情況如下：

小明家這個(gè)季度共用水多少m3？

答：小明家這個(gè)季度共用水53m3.

【點(diǎn)評(píng)】收費(fèi)問(wèn)題與我們的生活息息相關(guān)，如水費(fèi)問(wèn)題、電費(fèi)問(wèn)題、話(huà)費(fèi)問(wèn)題等，這些收費(fèi)問(wèn)題往往根據(jù)不同的用量，采用不同的收費(fèi)方式.以收費(fèi)為題材的數(shù)學(xué)問(wèn)題多以分段函數(shù)的形式出現(xiàn)在中考試題中，解答時(shí)需分段討論.

二、方案選擇問(wèn)題

例2 有甲、乙兩家通迅公司，甲公司每月通話(huà)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如圖1所示；乙公司每月通話(huà)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表1所示.

（1）觀察圖1，甲公司用戶(hù)月通話(huà)時(shí)間不超過(guò)100分鐘時(shí)應(yīng)付話(huà)費(fèi)金額是 元；甲公司用戶(hù)通話(huà)100分鐘以后，每分鐘的通話(huà)費(fèi)為 元；

（2）李女士買(mǎi)了一部手機(jī)，如果她的月通話(huà)時(shí)間不超過(guò)100分鐘，她選擇哪家通迅公司更合算？如果她的月通話(huà)時(shí)間超過(guò)100分鐘，又將如何選擇？

【解析】（1）當(dāng)0≤t≤100時(shí)，話(huà)費(fèi)金額y=20；當(dāng)t>100時(shí)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式得y=0.2t， 從而得出，甲公司用戶(hù)月通話(huà)時(shí)間不超過(guò)100分鐘時(shí)應(yīng)付話(huà)費(fèi)金額是20元；當(dāng)甲公司用戶(hù)通話(huà)100分鐘以后，每分鐘的通話(huà)費(fèi)為0.2元；

【點(diǎn)評(píng)】方案選擇問(wèn)題是我們生活中常遇到的問(wèn)題，人們要對(duì)各種方案有所選擇和決策.本題是通過(guò)觀察圖像和表格中的信息，構(gòu)建一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)又與一元一次方程和一元一次不等式相結(jié)合解決問(wèn)題.

三、行程問(wèn)題

例3 從甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明騎車(chē)從甲地出發(fā)，到達(dá)乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段時(shí)間，假設(shè)小明騎車(chē)在平路、上坡、下坡時(shí)分別保持勻速前進(jìn).已知小明騎車(chē)上坡的速度比在平路上的速度每小時(shí)少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小時(shí)多5km.設(shè)小明出發(fā)x h后，到達(dá)離甲地y km的地方，圖中的折線(xiàn)OABCDE表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系.

（1）小明騎車(chē)在平路上的速度為 km/h；他途中休息了 h；

（2）求線(xiàn)段AB、BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如果小明兩次經(jīng)過(guò)途中某一地點(diǎn)的時(shí)間間隔為0.15h，那么該地點(diǎn)離甲地多遠(yuǎn)？

【解析】（1）由速度=路程÷時(shí)間就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的時(shí)間，進(jìn)而得出途中休息的時(shí)間；

【點(diǎn)評(píng)】行程問(wèn)題是一個(gè)常規(guī)的問(wèn)題，而新課下的行程問(wèn)題，與原來(lái)行程問(wèn)題的應(yīng)用題完全不同，往往與圖像、圖形、表格等結(jié)合在一起，不僅考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且考查學(xué)生的識(shí)圖能力和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 本題考查了行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一元一次方程的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)題意結(jié)合圖象說(shuō)出其圖象表示的實(shí)際意義，求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

小試身手

1. 為了慶祝商都正式營(yíng)業(yè)，商都推出了兩種購(gòu)物方案.方案一：非會(huì)員購(gòu)物所有商品價(jià)格可獲九五折優(yōu)惠，方案二：如交納300元會(huì)費(fèi)成為該商都會(huì)員，則所有商品價(jià)格可獲九折優(yōu)惠.

（1）以x（元）表示商品價(jià)格，y（元）表示支出金額，分別寫(xiě)出兩種購(gòu)物方案中y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）若某人計(jì)劃在商都購(gòu)買(mǎi)價(jià)格為5880元的電視機(jī)一臺(tái)，請(qǐng)分析選擇哪種方案更省錢(qián)？

2.星期天，小強(qiáng)騎自行車(chē)到郊外與同學(xué)一起游玩，從家出發(fā)2小時(shí)到達(dá)目的地，游玩3小時(shí)后按原路以原速返回，小強(qiáng)離家4小時(shí)40分鐘后，媽媽駕車(chē)沿相同路線(xiàn)迎接小強(qiáng)，如圖，是他們離家的路程y（千米）與時(shí)間x（時(shí)）的函數(shù)圖像.已知小強(qiáng)騎車(chē)的速度為15千米/時(shí)，媽媽駕車(chē)的速度為60千米/時(shí).

（1）小強(qiáng)家與游玩地的距離是多少？

（2）媽媽出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與小強(qiáng)相遇？