高中數(shù)學(xué)解題中“算兩次”思想方法的應(yīng)用探析

邱文丁

【摘 要】“算兩次”這種數(shù)學(xué)方法在數(shù)學(xué)中又叫做富比尼原理，其基本思想是：把一個(gè)量按照兩個(gè)不一樣的角度進(jìn)行兩次計(jì)算，然后建立一種等量關(guān)系。本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)中具體例子探討了算兩次思想方法在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)解題；算兩次思想方法；應(yīng)用

解析幾何中如果要求某個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，一般是按照動(dòng)點(diǎn)所滿足兩個(gè)條件來(lái)建立等式。算兩次思想方法在數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中也有較多的應(yīng)用。在高中數(shù)學(xué)中，教師和學(xué)生在解題時(shí)也使用算兩次思想方法，但是該解題方法沒(méi)有受到重視，沒(méi)有從數(shù)學(xué)思想上認(rèn)識(shí)它，在教師的解題教學(xué)中算兩次方法被應(yīng)用的也不多。

一、算兩次數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)題中的體現(xiàn)

某省2010年的一道高考數(shù)學(xué)題把數(shù)列和不等式結(jié)合起來(lái)：數(shù)列{an}，各項(xiàng)都是正數(shù)，前n項(xiàng)和是Sn，已知條件是2a2=a1+a3，數(shù)列{√ns}是一個(gè)等差數(shù)列，其公差是d 。該題有兩個(gè)問(wèn)題：（1）求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（公式中符號(hào)用n，d來(lái)表示）；（2）假設(shè)c是實(shí)數(shù)，m，n，k是三個(gè)正整數(shù)，它們都滿足條件m+n=3k并且m和n兩個(gè)值不相等，利用m，n，k建立的不等式Sm+Sn>cSk都成立 ，現(xiàn)在要證明c值最大時(shí)是9/2。第一小題不難求出通項(xiàng)公式，大部分考生都能求出來(lái)，但是對(duì)于第二小題不少考生就束手無(wú)策了。怎么會(huì)這樣呢？一個(gè)是學(xué)生缺少應(yīng)變與創(chuàng)新能力，還有一個(gè)更重要的原因是很多學(xué)生沒(méi)有掌握算兩次思想方法。如果考生很熟悉算兩次思想方法，第二小題的證明并不難，過(guò)程是這樣的，從第一小題可得√a1=d，√Sn=√a1+（n-1）d，所以得出d>0，Sn=d?n?.對(duì)于三個(gè)正整數(shù)m，n，k從題設(shè)條件可知m+n=3k并且m和n兩值不相等，這時(shí)從一方面可以Sm+Sn=（m?+n?）d?>（m+n）?d?/2=9/2d?k?=9/2Sk，從這里可以看出cmax≧9/2；從另外一方面，可以取實(shí)數(shù)a≧9/2，這時(shí)假設(shè)k是偶數(shù)，讓m=3k/2+1，n=3k/2-1，所以m，n，k是符合條件的并且Sm+Sn=（m?+n?）d?=d?[（3k/2+1）?+（3k/2-1）?]=1/2d?（9k?+4），所以在9k?+4<2ak?，經(jīng)計(jì)算變形可得k>2/√2a-9，這時(shí)Sm+Sn<1/2d?*2ak?=aSk，滿足條件情況下c≤9/2，所以cmax≧9/2 。從兩個(gè)方面都證明了c值最大時(shí)是9/2 。

算兩次解題法表現(xiàn)出了從兩個(gè)方面來(lái)解題的特點(diǎn)，從深一層次來(lái)說(shuō)它蘊(yùn)含的思想是換角度看問(wèn)題也就是轉(zhuǎn)換思想。使用算兩次法來(lái)解題，一般情況下有三個(gè)步驟：一方面……，其它方面……，從這兩方面可得……，如果兩方面結(jié)果都是準(zhǔn)確的，結(jié)合起來(lái)可以獲得一個(gè)不等式。例如還是2010年某省的高考數(shù)學(xué)題，有一小題是求出點(diǎn)A與平面PBC之間的距離，解答這道題時(shí)也要用到算兩次法。

二、算兩次法在數(shù)學(xué)教材解題中的應(yīng)用

該思想方法是以教材為基礎(chǔ)通過(guò)對(duì)很多道題的解答和證明而獲得的，所以說(shuō)它來(lái)自教材，從數(shù)學(xué)水平和思想上來(lái)說(shuō)又比教材高。在高考數(shù)學(xué)的命題過(guò)程中它是一個(gè)重要考查點(diǎn)，高考對(duì)它的考查也是以教材為基礎(chǔ)的，對(duì)于算兩次法現(xiàn)在的新數(shù)學(xué)教材中也出現(xiàn)了好幾次，例如在等差數(shù)列中求出它的前n項(xiàng)和公式，在推導(dǎo)中要用到倒序相加法；關(guān)于兩個(gè)角在推導(dǎo)其和、差的余弦公式時(shí)也用到了算兩次法。但在數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中。算兩次思想方法并不被重視，不少一線教師和高三骨干教師，對(duì)這種思想方法都知道的不多；還有的認(rèn)為該數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)不是重要的，所以就不對(duì)它做重點(diǎn)講解，這就使學(xué)生在高考解數(shù)學(xué)題時(shí)如果可以用該思想方法解答，學(xué)生就不會(huì)運(yùn)用。學(xué)會(huì)找出數(shù)學(xué)思想與對(duì)應(yīng)方法，使學(xué)生提高分析與解決問(wèn)題的水平，從而提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)，要把教材作為基礎(chǔ)。

在推導(dǎo)定理與公式時(shí)多多運(yùn)用算兩次法，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用該思想方法來(lái)分析與解決數(shù)學(xué)題的意識(shí)。在新出版的高中數(shù)學(xué)教材中，像那些比較重要而又基礎(chǔ)性較強(qiáng)的定理與公式，對(duì)它們的結(jié)論進(jìn)行證明時(shí)需要使用有創(chuàng)新性的方法，創(chuàng)新性主要是說(shuō)選擇較為合適的角度來(lái)計(jì)算，更方便的建立等量或者不等量關(guān)系，這時(shí)算兩次法便是一種很好的方法，在課堂教學(xué)中教師要注意在講解這種題型時(shí)有效運(yùn)用算兩次法，并讓學(xué)生聽(tīng)明白，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)該數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)。在給學(xué)生講解課本上和其它資料上的題時(shí)，對(duì)那些典型例題與習(xí)題要進(jìn)行深入和多次講解，方便學(xué)生對(duì)算兩次思想方法的總結(jié)。

三、總結(jié)

在立體幾何中求兩點(diǎn)距離或其它距離經(jīng)常使用等體積法，這是運(yùn)用了三棱錐的可換底性質(zhì)，對(duì)三棱錐體積進(jìn)行兩次計(jì)算，然后建立等式來(lái)求高，算兩次法是一種常用到的解題方法，還是一個(gè)重要數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)課本上它是化歸與方程思想的一種表現(xiàn)形式，同時(shí)也表現(xiàn)出了換角度思考這種理性思維特點(diǎn)。在使用算兩次法來(lái)解題時(shí)，不必注重其表面形式，重要的是要對(duì)該思想方法在本質(zhì)上認(rèn)識(shí)與理解它。

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