初中數學教材“數形結合”思想略談

冷慶生

摘要：曾有一段時間初中數學教材分為兩大版塊：“代數”與“幾何”，之后教材經歷了若干次改革，數學中原本就不可分割的“代數”和“幾何”，變得數中有形，形中有數，代數和幾何相互穿插。二者不僅僅是表層意義上的結合，更關鍵的是思想上的結合，這就潛移默化地強調了數學中的“數形結合”這一重要的思想方法。

關鍵詞：初中數學；數形結合；教材

仔細研讀初中數學教材（2012第3版），筆者發現“數形結合”思想如同一條主線，貫穿于初中數學的始終。新課程標準（2011年版）指出：“數學中有一些重要內容、方法、思想是需要學生經歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的，如分數、函數、概率、數形結合、邏輯推理、模型思想等。”這就要求學生具備數形結合思想方法，并運用它來幫助學生理解教材中知識，并解決實際問題。

縱觀整套初中數學的教材，可以把數形結合思想分為以下三種主要形式：“以數化形”、“以形變數”、“形數互變”。以下從“以數化形”這個維度來分析教材中所蘊含的數形結合思想方法。

在數學中，有些數量關系十分抽象，學生很難理解和把握；而圖形的優點在于形象、直觀，能將抽象的思維形象地表現出來。數和形本就是一種對應，所以我們可以把“數”的對應形式——“形”找出來，利用“圖形”解決“數量”問題。也就是說，從己知問題情境中提煉出某種“模式”（數與形之間的一種特定的結構或關系），再根據這種模式把數量問題變為圖形問題，并通過分析圖形，最終解決此數量問題。初中階段將數量問題轉化為圖形問題一般有兩種途徑：平面幾何知識和解析幾何知識。

“以數化形”意義在于：1。將抽象的代數語言化為幾何直觀，可避開復雜冗長的推理或計算；2。通過直觀形象的圖形來幫助人們理解和闡述抽象晦澀的代數關系，獲得出奇制勝的效果。

案例 一元一次不等式

七年級教材第十一章的內容是“一元一次不等式”。本章第2節“不等式的解集”從“說出不等式x-3>0成立的x的值”出發，發現有些數能使不等式成立，有些數不能使不等式成立，由此得出“不等式的解”的概念，并給出思考：不等式的解與方程的解有什么不同？

此思考的作用是使學生認識到不等式解的無限性，由此得出“解集”概念，并用數軸來表示此解集。

用數軸表示實數是數形結合的一個具體體現，用數軸來表示數集比用數軸來表示數又進了一步。教材在得出“不等式的解集”的概念之后，立即就給出了用數軸表示不等式的解集的方法，使學生直觀地看到不等式的解有無限多個，并從直觀上理解“不等式的解集”與方程的解的區別，加深學生對解集的理解。這里借助數軸表示不等式解集，僅是讓學生對此有個初步的認識，在之后確定一元一次不等式組的解集時，利用數軸更為有效。

本章第6節“一元一次不等式組”把數形結合思想體現得更加淋漓盡致。首先從一個實際問題出發，得出“一元一次不等式組”的概念，之后利用不等式的性質分別求出兩個不等式的解集，用同一數軸上分別表示這兩不等式的解集，兩個解集的公共部分即此不等式組的解集。

在這里我們能夠更加清楚地看到數軸的作用。新課程標準要求：“會用數軸確定由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集。”強調利用數軸，把借助于這種直觀、形象的方式，求兩個不等式解集的“公共部分”作為解題關鍵的一步，使學生容易理解和掌握。若是這里不借助數軸，僅憑“x≤170”和“x≥136”這兩個不等式去求解集，當然是可以求出來的，但是對于七年級學生的思維水平來說有相當大的難度。前面兩節己經對“在數軸上表示數集”做了大量的鋪墊，因此學生能比較自然地接受在數軸上表示出“公共解集”，數軸在此功不可沒。

還有一點在這里不得不提，部分教師在本節課的教學過程中，根據自己的經驗和在數軸上表示公共解集的特點，總結出了解一元一次不等式組的一個順口溜：“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了。” 在解不等式組時，有了這個順口溜，就可以通過不畫數軸便得到不等式的解集，從而節省解題的時間。這個順口溜總結得很形象，也很押韻，但筆者是不提倡的，原因有三：

一、這個順口溜里只有死記硬背，缺少應有的理解，而且記憶起來相當有難度的，整個順口溜每一句里都“擺”滿了“大”“小”二字，稍有不慎便記錯規律，從而導致解題時出現錯誤，雖然通過不畫數軸節省了時間，但似乎本末倒置，有點弄巧成拙了。

二、數軸是一個核心知識，它串聯了相反數、絕對值、有理數運算、不等式解集等一系列的內容。在解決不等式組解集問題時，通過數軸的演示，學生對不等式組的公共解集的理解變得更加容易，能一目了然。

三、數軸建立了實數與數軸上的點之間的一一對應關系，它溝通了數與形之間的聯系，提供了一個實用工具，使抽象的數量關系有了直觀形象的幾何意義，因此在此利用數軸求不等式組的解集，使這個抽象問題更加直觀化，繁瑣問題更加簡單化。

我們在教學中要分析教材中滲透的數形結合思想方法，首先要了解教材的編寫特色，將幫助我們了解教材的知識體系，以及挖掘教材中隱含的數學思想方法。其次，要了解教材的知識體系，我們要從整體入手，了解初中數學知識的編排序列，這對于我們在初中階段逐步地、反復地滲透數形結合思想有著極大的幫助。再次，要了解教材的編寫意圖，通過我們的思考，還原教材的本真，把握教材的實質。