基于《基本不等式的證明》復習課的案例分析

孫麗娟

（云南省會澤縣茚旺高級中學）

一、背景介紹

2015 年4 月20 日，省級名師工作室成員到我校開展教學診斷與指導活動，我很珍惜這次與專家“零距離”的接觸，在課前進行了認真的教學設計，并準備了幾個疑難問題請教他們。班級里來了客人，學生比平時更加興奮與專注，開放性的教學問題設計，民主和諧的課堂氛圍使學生能帶著自己的知識、經驗、思考、靈感參與課堂活動，從而使課堂呈現出多變性和復雜性，并有了更多的“生成性資源”，這為課后的交流提供了豐富的素材。

二、情境描寫

重要不等式a2+b2≥2ab 的直接證明：

課堂問候禮后，我直接出示問題1：如何證明基本不等式a2+b2≥2ab？看到學生迷茫狀，我補了一句：回憶一下，不等式證明有哪些常用的方法？這下立即有了反應。

生：可以用比較法證明，作差可得（a-b）2≥0。（好簡單，同學們微微點頭。）

生：也可以由（a-b）2≥0 推得a2+b2≥2ab，那是……綜合法。對，還有分析法。

生：我覺得反證法也行！（真的，學生笑開了。）

學生齊答，我板書分析法：

要證a2+b2≥2ab，

即證a2+b2-2ab≥0，

只要證（a-b）2≥0，這顯然成立，

所以，a2+b2≥2ab 成立。

三、分析與反思

1.數學公式、定理的教學與復習應關注哪些方面

基本不等式a2+b2≥2ab 可看成是數學公式和定理，平時在教學和復習數學公式和定理時容易產生“掐頭去尾燒中段”的情況，也就是“一背二套”“公式加例題”的形式，這種形式的教學往往使學生頭腦里只留下公式、定理的外殼，忽視它們的來龍去脈，不明確它們運用的條件和范圍。事實上在公式與定理的教學與復習時應關注：本源、推導（證明）、限制條件和特例，變形與聯系，應用等。通過教學與復習，應使學生達到以下目標：（1）要用準確的數學語言表述公式與定理的內容，明確其使用的條件和適用的范圍；（2）要正確地掌握其證明及推導方法，并適當變形，聯系其他知識構造再證明；（3）要探討對一些重要的公式和定理能否作適當的引申與推廣；（4）整理公式與定理的應用規律。我們在教學中，必須以適當的方式將公式和定理的發生、發展、變化過程展示給學生，讓學生通過自主學習獲取知識，并領悟公式和定理所包含的數學思想方法，靈活地掌握知識，應用知識，達到提高分析問題，解決問題的能力。

2.復習課中如何設計“三基”訓練

在設計復習問題時，既要關注知識交叉點的訓練，又要注重問題的能力立意，同時不忘解題技能練習和書寫規范，最后強調解題后的反思，悟出階梯策略、思想方法的精華。本課在復習基本不等式a2+b2≥2ab 的同時，設計了不等式的4 種基本證明方法（比較法、綜合法、分析法和反證法）及相應的表述訓練，強化數形結合思想，函數、方程與不等式的聯系與轉化能力的應用，加深對代數、幾何、三角、向量等數學知識相關性的理解。總之，復習課教學內容的選擇上應按學生的認知規律，由淺入深，由易及難，逐漸展開，既考慮知識的廣度與聯系度，又關注課堂學生的思維、能力、思想方法的訓練量，提高綜合運用知識解決問題的水平。