和差角公式及三大定理的統(tǒng)一性

周秋良

大家知道，人教A版普通高中課程標準實驗教科書對和差角公式和邊角關系三大定理作了精彩的分析，從多個角度引導學生理解掌握。筆者根據(jù)教授這一內容的經(jīng)驗認為，教學中還可以引導學生弄清它們之間的統(tǒng)一性。本文給出它們在“托勒密定理”下的統(tǒng)一性證明，供同行參考。

托勒密定理：若ABCD是一個圓O的內接凸四邊形，則AB·CD+BC·DA= AC·BD；也就是說，圓的內接凸四邊形對邊乘積之和等于對角線之積。

一、用托勒密定理推導和差角公式

1.推導兩角和的正弦公式

如圖1：設∠CAD=α，∠BAC=β，圓O的直徑AC=d，則AB=dcosβ，CD= dsinα，BC=dsinβ，DA=dcosα，BD= dsin（α+β）。

由托勒密定理得：dcosβ·dsinα+ dsinβ·dcosα= d2sin（α+β），即sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ。

2.推導兩角差的正弦公式

如圖2：設∠BAD=α，∠CAD=β，圓O的直徑AD=d，則AB=dcosα，CD=dsinβ，BC=dsin（α-β），AC=dcosβ，BD=sinα。

由托勒密定理得：dcosα·dsinβ+ dsin（α-β）·d= dcosβ·dsinα，即sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ。

3.推導兩角和的余弦公式

如圖3：設∠CAD=α，∠ADB=β，圓O的直徑AD=d，則AB=dsinβ，CD= dsinα，BC= dcos（α+β），AC=dcosα，BD= dcosβ。

由托勒密定理得：dsinβ·dsinα+ dcos（α+β）·d= dcosα·dcosβ

即cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ。

4.推導兩角差的余弦公式

如圖4：∠ACD=α，∠BAC=β，圓O的直徑AC=d，則AB= dcosβ，CD= dcosα，BC= dsinβ，DA= dsinα，BD=d cos（α-β）。

由托勒密定理得：dcosβ·dcosα+ dsinβ·dsinα=d2 cos（α-β）

即cos（α-β）=cosβcosα+sinβsinα。

二、用托勒密定理推導三角形邊角關系的三大定理

1.推導正弦定理

如圖5：設BC=a，AC=b，AB=c，△ABC的三個內角分別為A，B，C，圓O的直徑BD=d，則AD=cotC，CD= acotA，AC=b=dsinB。

由托勒密定理得：c·acotA+a·ccotC =dsinB·d

即 ，

同理 ， 。

故 。

2.推導余弦定理

如圖6：設CD∥AB，BC=a，AC= b，AB=c，△ABC的三個內角分別為A，B，C，CE⊥AB，DF⊥AB，則BD=AC=b，AD=BC=a，AE=BF=bcosA，于是CD=EF=AB-（AE+BE）=c-2bcosA。

由托勒密定理得：b·b+c·（c-2bcosA）=a·a，即a2=b2+c2-2bccosA，

同理可得：b2=a2+c2-2accosB，c2= a2+b2-2abcosC。

3.推導射影定理

如圖7：設BC=a，AC=b，AB=c，△ABC的三個內角分別為A，B，C，圓O的直徑BD=d，則AD=dcosC，CD= dcosA。

由托勒密定理得：c·dcosA+a·dcosC = b·d，即b=ccosA+acosC，

同理可得：a=bcosC+ccosB，c=acosB +bcosA。

【參考文獻】

[1] 人民教育出版社、課程教材研究所、中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學》，人民教育出版社，2007.

（作者單位：福建省龍巖市上杭縣第二中學）endprint