巧用“一線三等角” 模型突破幾何壓軸難題

劉敏

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》中提出，在初中階段核心素養的主要表現包含幾何直觀和模型觀念.這就要求學生能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類，再根據形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型.本文中抓住數學問題中常見的“一線三等角”進行研究分析，探究其在各類型問題中所表現出來的特征，從而更好地為提高學生解題能力，提升學生核心素養奠定基礎.

關鍵詞：一線三等角;模型;幾何直觀

1 引出問題

2022年安徽中考試題中有這樣一道試題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點M，N，過點F作AD的垂線交AD的延長線于點G．連接DF，則∠FDG＝°．

根據題意可以發現，在直線AD上，存在三個直角，∠A=∠BEF=∠G（或者∠A=∠BEF=∠EDM），出現這種情況，我們往往稱之為“一線三直角”的數學模型，從而利用兩個三角形全等或者相似即可.此題可根據“AAS”證△ABE≌△GEF，得出EG＝AB，GF＝AE，進而推出DG＝GF.即可得出∠FDG的度數.

若將“一線三直角”模型中的直角改為其他角度，這樣就形成了“一線三等角”的數學模型，在解答相關問題的過程中，很容易考慮到全等三角形或者相似三角形的判定.熟練把握“一線三等角”的相關特點，感悟其在全等或者相似三角形判定中的重要作用，便于引導學生在解答過程中快速掌握利用基本圖形來描述或者分析、解決問題，從而培養學生的幾何直觀能力.

2 “一線三等角”在全等形問題中的應用

例1閱讀下面的相關材料，并回答問題.

模型學習：如圖2，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥AC于點C，DE⊥AC于點E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D；又∠ACB＝∠AED＝90°，可以通過推理得到△ABC≌△DAE，進而得到AC＝，BC＝．我們把這個數學模型稱為“一線三等角”模型．

模型應用：如圖3，△ABC為等邊三角形，BD＝CF，∠EDF＝60°，求證BE＝CD.

在“模型學習”中根據這種模型的特點，可以直接判斷，由“AAS”可證△ABC≌△DAE，可得AC＝DE，BC＝AE；對于“模型應用”，根據條件可以發現∠B=∠C=∠EDF＝60°，符合“一線三等角”的特征，故由“AAS”可證△BDE≌△CFD，從而可證明得到BE＝CD.

3 “一線三等角”在相似形問題中的應用

例2如圖4，D為△ABC的內心，點E在AC上，且AD⊥DE，若DE＝2，AD＝CE＝3，試求AB的長．

通過審題發現，題干中有內心，還有垂直，問題的目標AB與條件AD，CE分屬三條直線.因此可以考慮延長DE看是否可以構建“一線三等角”.于是延長ED交AB于點F，連接BD，如圖5，將線段AB分為AF和BF兩部分，分別計算.顯然，根據條件很容易證明△ADE≌△ADF，利用勾股定理求得AE的長度，即為AF的長度.再根據△ADE≌△ADF，可以得到∠AFD=∠AED，故有∠BFD=∠CED.利用三角形內角和可推理計算得到∠ABD＝∠CBD＝∠CDE，從而可得到△BFD∽△DEC，再利用相似，列比例式求得BF.BF與AF相加即可求得AB．

4 “一線三等角”在一次函數中的應用

例3如圖6坐標系中，O（0，0），A（3，33），B（6，0），將△OAB沿直線CD折疊，使點A恰好落在線段OB上的點E處，若OE＝65，求AC∶AD的值．

根據題意可知，例3符合“一線三等角”模型，從而可以考慮使用一線三等角進行解題.過點A作AF⊥OB于F，如圖7.根據已知條件得到AF＝33，OF＝3，OB＝6，求得∠AOB＝60°，推出△AOB是等邊三角形，得到∠AOB＝∠ABO＝60°.根據折疊的性質得到∠CED＝∠OAB＝60°，求得∠OCE＝∠DEB，從而得△CEO∽△EDB，則OEBD=CEED=COBE.設CE＝a，ED＝b，CA＝a，CO＝6-a，AD＝b，DB＝6-b.又BE=OB-OE=245，于是根據相似比得到結論．

5 “一線三等角”在反比例函數中的應用

例4如圖8，Rt△OAB的頂點O與坐標原點重合，∠AOB=90°，AO=2BO.當點A在反比例函數y=1x（x>0）的圖象上移動時，則點B的坐標滿足的函數解析式為.

分析條件發現，點A在反比例函數y=1x上，∠AOB=90°，直角邊OA∶OB= 2∶1.根據“種瓜得瓜，種豆得豆”的道理，可以“預感”點B也在反比例函數上，即點B的軌跡也應該是“遺傳”了點A的形狀信息，于是不妨構造“一線三等角”，結合“反比例函數面積性質”來快速解題.

首先假設點B的坐標滿足的函數解析式是y＝kx（k≠0），如圖9，過點A，B分別作x軸的垂線，垂足為C，D.易得△AOC∽△OBD，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得S△AOC∶S△BOD＝2∶1，進而求得答案．當然，本題點B只能在第二象限，所以還要寫清楚自變量的取值范圍.

6 “一線三等角”在二次函數中的應用

例5如圖10，拋物線y＝ax2+bx+2經過A（-2，0），B-12，0兩點．設點M是拋物線的頂點，試判斷拋物線上是否存在點H滿足∠AMH＝90°？若存在，請求出點H的坐標；若不存在，請說明理由．

根據題意容易求得該拋物線的解析式，從而得到頂點M的坐標.判斷∠AMH的存在性，即判斷直角三角形的存在性，就會用到兩點間的距離公式，再結合勾股定理對三邊關系進行計算判斷，這樣處理，計算量會很大.根據圖示發現它符合“一線三等角”模型，運用此模型來解答問題會變得簡單，且計算也簡便.如圖11，作MH⊥AM交x軸于點K（x，0），作MN垂直x軸于點N.根據余角的性質，可得∠AMN＝∠NKM.根據相似三角形的判定與性質，可得ANMN= MNNK，由此求出x，即得k的坐標.再由直線MK與拋物線方程聯立，可得點H的坐標．

再如：如圖12所示，拋物線y＝ax2+bx+4過A（2，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，過點C作x軸的平行線與拋物線的另一個交點為D，連接AC，BC．點P是該拋物線上一動點，設點P的橫坐標為m（m＞4）．若∠ACP＝45°，求m的值.

對于此題，我們也是很難快速確定點P的位置，為此可以利用“一線三等角”模型，過點A作AC的垂線AE，并使得AE=AC，如圖13，易得點E的坐標.連接FC，交拋物線于點P，將直線EC的解析式代入拋物線求得交點坐標，即可求得除點C外的另一交點P，思路清晰，方法簡單，問題迎刃而解.

7 “一線三等角”在圖形變換中的應用

例6等邊△ABC邊長為6，P為BC邊上一點，∠MPN＝60°，且PM，PN分別于邊AB，AC交于點E，F．如圖14所示，若點P在BC邊上運動，且∠MPN繞點P旋轉，當CF＝AE＝2時，求PE的長．

根據題意，△ABC是等邊三角形，∠MPN＝60°，可知∠B=∠C=∠MPN，符合“一線三等角”模型.因此可以考慮使用該模型下的解題基本思路.通過證明△BPE∽△CFP，根據相似三角形對應邊的比相等，再設BP＝x，則CP＝6-x，即可求得BP的長，進而求得PE的長．

8 “一線三等角”在動態問題中的應用

如圖15和圖16，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝34．點K在AC邊上，點M，N分別在AB，BC上，且AM＝CN＝2．點P從點M出發沿折線MB-BN勻速移動，到達點N時停止；而點Q在AC邊上隨P移動，且始終保持∠APQ＝∠B．在點P處設計并安裝一掃描器，按定角∠APQ掃描△APQ區域（含邊界），掃描器隨點P從M到B再到N共用時36 s．若AK＝94，請直接寫出點K被掃描到的總時長．

動態問題，往往作為數學試卷中的壓軸題，對學生來說此類問題難度很大，根據AB＝AC，∠APQ＝∠B，可以判斷出該問題所考查的是“一線三等角”模型，從而對于解題也就心中有數了，起碼為下一步的解答找到了突破口，抓住這一切入點，利用關聯三角形的相似，判斷得到△ABP∽△PCQ，則有ABPC= BPCQ，再根據題干具體要求分析研究，進而求解本題答案．

通過上述問題的研究，可以感受“一線三等角”模型在各個知識背景下的應用.借助構造一線三等角模型解題的基本手段，從復雜的圖形中分離出基本圖形，具有將問題化繁為簡的效果，同時可以幫助我們在解題中快速找到解決問題的突破口.當然，希望“一線三等角”模型能起到拋磚引玉的作用，更希望學生能形成比較完善的知識儲備，從而提高基本圖形的敏銳觀察力，以及不斷提升幾何直觀能力和問題建模思想.