淺談未定式極限計算的幾種方法及技巧

黃紹東

【摘 要】本文介紹了未定式的概念，并在極限運算法則的基礎上，通過對未定式的極限計算方法進行介紹，總結出未定式極限計算的幾種方法及技巧。

【關鍵詞】未定式 ? ?極限計算 ? ?方法

一、引言

極限是高等數學中最重要的內容之一，是研究高等數學的有力工具。高等數學中一些非常重要的概念如函數的連續性、導數的概念、定積分的概念等都是用極限來定義的。極限貫穿于高等數學的始終，掌握極限概念與極限運算是學好高等數學的前提條件，求極限成為高等數學中的基本運算，其中，未定式極限又是極限中的一個難點。洛必達法則是求未定式極限的一種有效方法，它主要是通過求極限號下分式的分子、分母的導數達到消去未定因素的目的。但也有一些未定式極限僅用洛必達法則是解不出來的，可利用初等解法，即通過恒等變形或變量替換轉化為非不定式的極限來計算;或者利用無窮小代換法則、洛必達法則積分法、變量代換、函數轉換（取對數、因式分解）中值定理等來計算。為此，本文針對這一問題對未定式的極限計算方法與技巧進行歸納總結。

二、未定式的概念

我們知道，兩個無窮小量之比的極限或者兩個無窮大量之比的極限，有的存在，有的不存在，即使存在，不同的極限值也不相等。因此，我們將這類極限稱為未定式，并分別記兩個無窮小量之比的極限和兩個無窮大量之比的極限為“”型和“”型。

對于“”型和“”型的極限，由于不能運用“商

的極限等于極限的商”這一法則，洛必達法則就是求這種未定式的重要且有效的方法，這個方法的理論基礎是柯西中值定理。

除了“”型和“”型這兩類未定式之外，常見的

未定式還有“”“”“”“”“”等形式的極限。本文重點按未定式的類型來對極限計算的常用幾種方法與技巧進行探討。

三、“”型未定式的求解方法

1.通過因式分解和根式有理化，消去“”因子，再用極限運算法則或連續函數極限的求法求解。

所謂根式有理化，是指極限式中含有（或）的題型，在求極限之前先用它們的共軛根式（或）分別乘以分子、分母，使其“”因子呈現出來的一種運算。

2.利用等價無窮小的運算性質。

設～，～

則.

注意：乘、除可用等價無窮小替換，加減運算最好不用等價無窮小代換，因為掌握不好“度”易出錯。

3.洛必達法則（這是求解型極限最有效的方法）。

4.變量替換（數學運算的原則是一步比一步簡單，若用洛必達法則后，式子反而比原來的復雜，說明用法則達不

到求解目的。此時應想到變量替換法，通常是令

為自然數）。

四、“”型未定式的求解方法

1.洛必達法則。

2.變量替換法化為型。

3.型型或型再用法則或“抓大頭”方法

處理，求解方法有三種：

（1）通分;（2）根式有理化;（3）變量替換

4.，在用法則或者“抓大頭”方

法求解。

5.。

現以

注：型的極限有兩種求法：（1）用對數恒等

式化為再化為（2）利用公式

一般講，冪指函數的底呈或異化成這種形式的，（其中u（x）0），用后者簡單。

五、結束語

總之，數學問題千變萬化，解題方法靈活多樣。學生要能把一些基礎知識轉化為技能，不但可以發展學生的數學思維能力，還可以提高學生的數學技能技巧。求極限的方法很多，不只限于以上介紹的方法，但基礎知識更為重要。學習極限這一部分，要提高學生的運算能力，還要經常做一些相關的綜合練習，力求題型的多樣化，開拓學生的視野，進而加強學生對這一部分知識的理解與掌握，更好地培養他們的運算能力、觀察分析能力。關于不定式極限的計算，只要靈活地運用各種方法與技巧，就能有效地解決不定式極限的計算問題。

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