初中數(shù)學幾何證明題教學模式初探

梁錦斌

【摘要】 初中幾何證明題不但是學習的重點。而且是學習的難點，很多同學對幾何證明題。不知從何著手，一部分學生雖然知道答案，但敘述不清楚，說不出理由，部分學生對邏輯推理的證明過程幾乎不會寫，這樣，導致大部分的學生失去了幾何學習的信心，雖然新的課程理念要求，推理的過程不能過繁。一切從簡，但證明的過程要求做到事實準確、道理嚴密，證明過程方能完整，教學中怎樣才能把幾何證明題的求解過程敘述清楚呢？根據(jù)教學經(jīng)驗，我在教學中是這樣做的，希望與大家一起探討。

【關鍵詞】 讀題 分析 規(guī)范書寫 變式訓練

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2015）04-049-02

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初中幾何證明題不但是學習的重點。而且是學習的難點，很多同學對幾何證明題。不知從何著手，一部分學生雖然知道答案，但敘述不清楚，說不出理由，部分學生對邏輯推理的證明過程幾乎不會寫，這樣，導致大部分的學生失去了幾何學習的信心，雖然新的課程理念要求，推理的過程不能過繁。一切從簡，但證明的過程要求做到事實準確、道理嚴密，證明過程方能完整，教學中怎樣才能把幾何證明題的求解過程敘述清楚呢？根據(jù)教學經(jīng)驗，我在教學中是這樣做的，希望與大家一起探討。

1. “讀”——讀題

如何指導學生讀題？仁者見仁、智者見智，我們課題組結(jié)合我們的研究和本校學生的實際，將讀題分為三步：第一步，粗讀（類似語文閱讀的瀏覽）。快速地將題目從頭到尾瀏覽一遍，大致了解題目的意思和要求；第二步，細讀。在大致了解題目的意思和要求的情況下，再認真地有針對性地讀題，弄清題目的題設和結(jié)論，搞清已知是什么、需要證明的是什么？并盡可能地將已知條件在圖形中用符號簡明扼要地表示出來（如哪兩個角相等，哪兩條線段相等，垂直關系，等等），若題中給出的條件不明顯的（即有隱含條件的），還要指導學生如何去挖掘它們、發(fā)現(xiàn)它們；第三步，記憶復述。在前面粗讀和細讀的基礎上，先將已知條件和要證明的結(jié)論在心里默記一遍，再結(jié)合圖形中自己所標的符號將原題的意思復述出來。到此讀題這一環(huán)節(jié)，才算完成。

對于讀題這一環(huán)節(jié)，我們之所以要求這么高，是因為在實際證題的過程中，學生找不到證明的思路或方法，很多時候就是由于漏掉了題中某些已知條件或?qū)㈩}中某些已知條件記錯或想當然地添上一些已知條件，而將已知記在心里并能復述出來就可以很好地避免這些情況的發(fā)生。

2. “析”——分析

指導學生用數(shù)學方法中的“分析法”，執(zhí)果索因，一步一步探究證明的思路和方法。教師用啟發(fā)性的語言或提問指導學生，學生在教師的指導下經(jīng)過一系列的質(zhì)疑、判斷、比較、選擇，以及相應的分析、綜合、概括等認識活動，思考、探究，小組內(nèi)討論、交流、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路和方法。

3. “述”——口述

學生學習小組推選小組代表，由小組代表分析自己那一組探究到的證明的思路和方法，口述證明過程及每一步的依據(jù)。我們知道學習語文、外語及其他語言都是從“說”開始學起的，那么學習幾何語言，也可以嘗試先“說”后寫。初三的學生，可以讓他們先在小組內(nèi)自主探索、討論交流，弄清證題思路，然后再讓學生代表口述證題過程，達到訓練學生應用和提高幾何語言的表達能力的目的。

4. “擇”——選擇最簡易的方法

在各位學生代表口述完解題過程后，教師引導學生比較、選擇最簡單的一種證題方法，這樣做，不僅能幫助學生進一步理清證明思路、記憶相關的幾何定理、性質(zhì)，而且還增加了學生學習的興趣和好奇心，從而激發(fā)學生學習的積極性和主動性。

5. “演”——板演

在學生集體復述解題的基礎上，教師板演上述解題過程，給學生作證題的書寫示范，讓學生體會怎樣合理、規(guī)范、科學地書寫證明過程。

6. “練”——變式練習

變式，既是一種重要的思想方法，又是一種行之有效的教學方法。通過變式訓練，在課堂上展現(xiàn)知識發(fā)生、發(fā)展、形成的完整認知過程。在教學實踐中，我對于相似三角形的對應高，對應中線，對應角平分線的比與相似比的關系探索中，類比給出了對應邊上的n等分線段的比與相似比的關系有怎樣？啟發(fā)學生思考相似三角形“對應元素”的比與相似比的問題，讓學生深入思考問題的同時加深了對相似三角形性質(zhì)的理解。

變式教學符合學生是認知規(guī)律，能有層次地推進，為學生提供一個求異、思變的空間，讓學生把學到的概念、公式、定理、法則靈活應用道各種情景中去，培養(yǎng)學生靈活多變的思維品質(zhì)，提高學生研究、探索問題的能力，提高數(shù)學素養(yǎng)，從而有效地提高數(shù)學教學效果。

因此，在學生獲得某種基本的證法后，教師可以通過變式，改變問題中的條件，轉(zhuǎn)換探求的結(jié)論，變化問題的形式或圖形的形狀位置等多種途徑，指導學生從不同的方向、不同的角度、不同的層次去思考問題。

在此基礎上，再讓學生分組討論，合作交流，做出更多的變式題目，并思考改變了已知或結(jié)論的題目又如何證明。“探索三角形相似的性質(zhì)（一）”將采用“啟發(fā)探究”式的教學法，通過“情境引入——探索交流——探索應用——拓展應用——收獲體會——課堂延伸”的教學思路。本文對這個教學案例作簡要分析，談談一些具體做法。（附講學稿及相應教法體會和說明）§3.7.1相似三角形的性質(zhì)（一）

一、教學目標：經(jīng)歷探索相似三角形中對應線段比值與相似比的關系的過程，理解相似三角形的性質(zhì)；培養(yǎng)學生的探索精神和合作意識；在探索過程中發(fā)展學生對數(shù)學問題的興趣和全面思考的思維品質(zhì)；

二、教學方法：啟發(fā)、自主探究與歸納

三、教學過程：

（一）溫馨回顧

1.如圖，△ABC≌△DEF，請寫出△ABC和△DEF的對應角、對應邊的關系（此處用類比方法復習引入，學生自主對照，選學生代表主持）。

2.如圖，△ABC∽△DEF，請寫出△ABC和△DEF的對應角、對應邊的關系，（找對應關系是基本技能，小組簡短交流，代表分析）。

（二）快樂探究

1.如圖，ΔABC∽ΔA′B′C′，相似比為k，AD、A′D′分別是這兩個三角形的高。

①求證：ΔABD∽ΔA′B′D′；②求證：■=■=k

（此處可以開放式設計問題，即對應高的比等于什么）

自主小結(jié)：相似三角形的對應高的比等于______。

2.如圖，ΔABC∽ΔA′B′C′，相似比為k，AE、A′E′分別是這兩個三角形的中線。

①求證：ΔABE∽ΔA′B′E′②求AE∶A′E′的比值。

（分小組研究，其他組完成后再參加討論）

自主小結(jié)：相似三角形的對應中線的比等于 。

3.如圖，ΔABC∽ΔA′B′C′，相似比為k，AF、A′F′分別是這兩個三角形的角平分線。

①求證：ΔABF∽ΔA′B′F′②求AF∶A′F′的比值

（小組討論代表分析證明過程，此處教師適當進行引導講解

提高認識）

自主小結(jié)：相似三角形的對應角平分線的比等于 。

歸納與提升：現(xiàn)在，你了解到更多的相似三角形的性質(zhì)了。

相似三角形對應 的比、對應 的比和對應 的比都等于 。

（閱讀理解，總結(jié)與歸納，進一步理解相似三角形性質(zhì)）

（三）例題欣賞

例1如圖，AD是△ABC的高，點P，Q在BC邊上，點R在AC邊上，點S在AB邊上，BC=60cm，AD=40cm，四邊形PQRS是正方形。

（1）△ASR與△ABC相似嗎？為什么？

（2）求正方形PQRS的邊長。

（獨立思考并集中分析，初步形成對于此類題型的解決方法）

例2（課本P107例題，自主閱讀理解）

（四）學以致用（重點分析4，5題的解題思路）

1.如果兩個相似三角形的對應高的比為2：3，那么對應角平分線的比是 ，對應邊上的中位線的比是 。

2.△ABC與△A'B'C'的相似比為3：4，若BC邊上高AD=12cm，則B'C'邊上高A'D'= 。

3.如圖菱形ABCD的邊長為2，延長AB到E，EB=2AB，連接EC延長交AD線于F，試求DF的長。

4.如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上。求這個正方形零件的邊長是多少？

后記

在教學過程中，我有意識地培養(yǎng)學生的獨立思考和小組共同探究的新的學習方式的能力，培養(yǎng)了在學習過程的領軍人物，他們超前學習，語言組織能力較強，獨立和團結(jié)協(xié)作能力，講題技巧得到進一步鍛煉。當然，我在后面的發(fā)散變式探究中適當站出來明確方法的應用也恰如其分，讓學生耳目一新，有頓悟的感覺。不但提高了能力，也擴展了知識視野。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]《六步式教學模式》.