數(shù)學(xué)總是蘊(yùn)藏著很深的魅力

吳進(jìn)華

數(shù)學(xué)蘊(yùn)藏著很深的魅力，教數(shù)學(xué)往往不僅僅是把數(shù)學(xué)知識教給學(xué)生，更重要的是給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的感覺，這種感覺可以是疑惑，可以是興趣，可以是突變的思維轉(zhuǎn)折，也可以是久思之后的茅塞頓開。總之，如果能讓學(xué)生扎進(jìn)去，學(xué)生自然不會排斥這門學(xué)科，這一點(diǎn)很重要。

七年級數(shù)學(xué)教材的第一章安排的是《生活·數(shù)學(xué)》，目的就是讓學(xué)生能聯(lián)系生活了解數(shù)學(xué)，而一般第一節(jié)課，我總是在和學(xué)生聊天。聊什么呢？圍繞數(shù)學(xué)來聊，從一個(gè)這樣的問題開始。我告訴他們，老師也是從一個(gè)偶然的問題開始對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的——“一段樓梯，有15節(jié)臺階，規(guī)定：每次只能走1節(jié)或者2節(jié)臺階，要想走完這段樓梯，一共有多少種不同的方法？”問題拋出，總有一些同學(xué)會很快舉手說出“5種”、“6種”等答案；而一些沉穩(wěn)的同學(xué)，會在細(xì)細(xì)思考后反駁剛才同學(xué)的回答。討論討論之后，大家慢慢發(fā)現(xiàn)方法很多，很難數(shù)出來。其實(shí)，學(xué)生這時(shí)候已經(jīng)陷入這個(gè)問題中了，這正是教學(xué)最好的時(shí)候。所以，我就鼓勵他們：“解決數(shù)學(xué)問題，需要適合的方法；問題往往需要從基礎(chǔ)模型開始建立思考。”

“既然大家覺得15節(jié)臺階方法太多，不能列舉，那么我們假設(shè)如果只有1節(jié)臺階，情況會如何？”，這時(shí)候?qū)W生開始列舉：

1節(jié) 1 方法：1種

2節(jié) 1/1或2 方法：2種

3節(jié) 1/2或2/1或1/1/1 方法：3種

4節(jié) 2/2或2/1/1或1/2/1或1/2/2或1/1/1/1 方法：5種

5節(jié) 2/2/1或2/1/2或1/2/2或1/1/1/2或1/1/2/1或1/2/1/1或2/1/1/1或1/1/1/1/1

方法：8種

…… ……

當(dāng)學(xué)生按照順序列舉后，細(xì)心的同學(xué)很快就發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：“方法數(shù)的規(guī)律是后面的一個(gè)數(shù)字是前面兩個(gè)數(shù)字。”學(xué)生很快就計(jì)算出15節(jié)臺階的方法數(shù)是987。

學(xué)生都驚嘆，竟然有這么多種方法。如果用列舉的方法寫，根本寫不完。這就是一個(gè)從簡單模型到復(fù)雜模型的過渡，學(xué)生都嘆服，原來這個(gè)數(shù)學(xué)問題可以這樣。我會再補(bǔ)充一些關(guān)于斐波那契數(shù)列的知識，學(xué)生聽得津津有味，對數(shù)學(xué)的興趣不言而喻。

數(shù)學(xué)的魅力總是在時(shí)間軸上一些細(xì)微的地方閃現(xiàn)，而學(xué)生很少能注意到這其中的一些聯(lián)系。下面的這個(gè)例子我認(rèn)為系統(tǒng)地講給學(xué)生非常棒。

這是初一下學(xué)期的一道習(xí)題：有條小河l，點(diǎn)A，B表示在河兩岸的兩個(gè)村莊，現(xiàn)在要建造一座水站向兩個(gè)村莊供水，請你找出水站P的位置，使得到A，B兩村的路程最短，并說明理由。

初一學(xué)生面對這個(gè)問題，并不難，很容易地找到了答案：連接A、B兩點(diǎn)即可，給出的理由是小學(xué)學(xué)過的——兩點(diǎn)之間，線段最短。

進(jìn)入初二上學(xué)期，學(xué)生開始學(xué)習(xí)《軸對稱》的知識，又遇到了這樣一個(gè)題目：

有條小河l，點(diǎn)A，B表示在河同岸的兩個(gè)村莊，現(xiàn)在要建造一座水站向兩個(gè)村莊供水，請你找出水站P的位置，使得到A，B兩村的路程最短，并說明理由。

這個(gè)題目意在考查學(xué)生新學(xué)的知識——軸對稱的性質(zhì)。但是在同學(xué)們以前學(xué)習(xí)過的內(nèi)容上加入了新的元素。只要找到點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A，連接AB，找到和l的交點(diǎn)P即可。

知識總是這樣，從簡單到復(fù)雜，把人們不斷推向更高的高度。進(jìn)入初二下學(xué)期，對學(xué)生圖形認(rèn)識的要求越來越高，我總是反復(fù)說，要回憶過去，聯(lián)系新知。當(dāng)他們遇到這個(gè)題目的時(shí)候更是這樣。

如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)，則PE+PB的最小值為 ？搖。

如何才能找到最小值呢？學(xué)生在復(fù)雜圖形中往往不能把無用部分去掉，把有用部分找出來。我們把重點(diǎn)標(biāo)出再來看看：

正方形的B、D兩點(diǎn)關(guān)于對角線AC對稱，所以PB的長度就是PD的長度。PE+PB的問題很自然地就轉(zhuǎn)化成了PD+PE的問題，一目了然——最小值應(yīng)該就是線段DE的長度，利用勾股定理求得DE的長度就是2。

每每講到此處，我都會花點(diǎn)時(shí)間和學(xué)生說說過去，和他們一起回憶過去遇到過的簡單的模型，和他們一起思考現(xiàn)在出現(xiàn)的模型，也許還能暢想一下以后會遇到的更多有趣的問題。

數(shù)學(xué)的魅力正在于此，每時(shí)每刻，你總是能找到過去的影子。只要你能平時(shí)多點(diǎn)留心，多一點(diǎn)思考，多一點(diǎn)總結(jié)，數(shù)學(xué)能成為每個(gè)人最好的朋友。