高等代數和中學數學的聯系

黃映雪

摘 要： 本文分析研究了高等代數的觀念與中學數學之間的聯系，同時也介紹了高等代數部分內容對中學數學解法和教法的指導作用。

關鍵詞： 高等代數 中學數學 行列式 矩陣

高等代數在大學數學學習中占有重要的地位，其與數學分析、解析幾何是大學數學里最基礎的三門學科，三者相互聯系，相互滲透。不僅如此，高等代數對中學數學也有著很重要的指導作用。高等代數中的方法和思想靈活多變，涵蓋的知識面較廣。在面對中學數學的問題中，聯系一定的高等代數知識，往往可以分類、整理、簡化中學數學中所碰到的難題。

1.高等代數與中學數學觀念方面的聯系

數學研究的對象有很多，單從基本研究對象來說，從簡單的中學代數研究的數、代數式方程、函數、多項式等到中學幾何研究的點、線、面、圓等常見圖形的內容，很容易得到，初等數學中研究的絕大部分對象是現實世界的數量之間的關系和空間位置與形式。然而這種研究觀念在高等代數等后繼逐漸對知識的深化的課程中卻發生了許多變化。例如，多項式與多項式之間的整除關系、集合元素之間的包含關系、不同向量間的線性關系、矩陣的相似、合同關系等許多高等代數中研究的關系，已不再是在中學數學中所接觸到的數量關系[1]。其次，向量空間、歐氏空間也不再局限于平常的空間形式，《高等代數》和《近世代數》等許多大學里所學的課程都說明了數學是一門應用抽象化、具體化的方法研究元素之間關系和研究對象結構的科學。這一新的觀念對于指導現在所提倡的中學教改是至關重要的[2]。

作為數學專業的高校教師，我們最重要的責任是致力于培養和發展學生解決問題的能力、在教學和學習中樹立理論的應用意識，總結和歸納理論的應用方法。同時深入發掘最近幾年大學里高等代數的教學實踐，結合中學課程特點及對教師示范性的要求，突出高等代數的理論應用特點和優點，將抽象的理論概念與相應層面上的具體問題結合，加深學生對理論的理解，同時培養學生應用理論分析、解決具體問題的能力。

2.高等代數與中學數學應用方面的聯系

高等代數課本中的某些知識，在指導中學數學中相對比較困難的一些問題時會發揮很好的作用，為解決問題提供捷徑。首先，談到高等代數，就不得不提到其中三個最基礎的概念：行列式、矩陣、線性方程組。這些概念是高等代數中研究的主要內容和重點，它們相互聯系、彼此有著重要的指引關系，且對中學數學解題有重要作用。

2.1行列式在中學數學解題中的應用

行列式是高等代數中運用比較廣泛的一個概念。行列式可以應用于中學數學中的因式分解，同時也可以把行列式應用到不等式的證明上。如果能在中學數學中構造適當的行列式，就會達到事半功倍、簡化問題的效果。

2.2矩陣在中學數學解題中的應用

矩陣是由方程組的系數及常數項組成的方陣，行列式和矩陣具有很多關系，矩陣是由數值組成的，而行列式的值是按可能求得的所有不同的積的代數和，即是一個實數性質和概念。根據矩陣的基本定義，可以自然想到能夠利用引入矩陣的方法解決中學數學里經常碰到的問題——求數項通項。又由矩陣和行列式在概念和計算方面有很多近似的地方，類比上述利用行列式對等式因式分解，同樣的，可以發現利用矩陣也可以對等式因式分解。矩陣的乘積和矩陣的逆對中學數學具有指導作用。

2.3線性方程組在中學數學解題中的應用

線性方程組無疑是高等代數知識中的另外一個重要組成部分，其與行列式、矩陣共同構成高等代數的重要部分，矩陣的出現可以解決線性方程組的求解問題，而行列式又可以看成矩陣的內部。運用線性方程組解決某些復雜的函數問題中，在對于研究中學數學中求函數的取值問題中有重要作用。

結語

隨著現代教學開放性程度的提高，高等代數的思想理論方法在中學數學中滲透得越來越深[3]。作為高校教師，我認為把高等代數課程思想與中學數學相融合，從更高的角度研究中學數學中的重難點，將教會學生以更開闊的眼界看待中學數學問題，從而會提高學生對高等代數的興趣。

參考文獻：

[1]李珍珠.在高等代數習題課教學中培養學生能力的探討[J].湖南科技學院學報，2011，10（12）：1-2.

[2]方次軍.淺析高等代數與中學數學的關聯[J].新校園（理論版），2013，12（4）：23-24.

[3]阮國利.高等數學方法在中學數學中的應用研究[D].內蒙古：內蒙古師范大學數學系，2008.

[4]代業明.從方法論和知識論看線性代數與中學數學的聯系[J].煤炭高等教育，2011，6（5）：124-125.

安徽高校省級自然科學研究項目（2014KJ002）（子流形的剛性與拓撲性質）