天體運動中的加速度與向心加速度的區別與聯系

李華

摘 要： 比較衛星在橢圓軌道與圓軌道的切點處的加速度大小或者向心加速度的大小，是關于天體運動這一知識點的高頻考點，而衛星的加速度和衛星的向心加速度又是一對容易混淆的概念，二者之間有什么區別，又有哪些聯系呢？本文對此進行討論。

關鍵詞： 加速度 向心加速度 近地點 遠地點 天體運動

比較衛星在橢圓軌道與圓軌道的切點處的加速度大小或者向心加速度的大小，是關于天體運動習題中的高頻考點，而衛星的加速度和衛星的向心加速度又是一對容易混淆的概念，二者之間有什么區別，又有哪些聯系呢？下面對此進行討論。

一、加速度和向心加速度有什么不同？

首先，物理意義不同：加速度是描述物體運動速度變化快慢的物理量。向心加速度是反映物體運動速度方向變化快慢的物理量。

其次，一般情況下的計算方法不同：加速度大小的求解通常是依據牛頓第二定律進行求解，a=■即物體加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的質量成反比；向心加速度大小通常根據a■=■或者a■=■=ω■r進行求解。

那么加速度的大小和向心加速度的大小在什么情況下相等呢？

對于變速圓周運動，通常根據合外力產生的效果，可以把合外力F■分解為兩個相互垂直的分力：跟圓周相切的分力F■和指向圓心的分力F■。其中跟圓周相切的分力F■產生切向加速度，改變速度大小；指向圓心的分力F■產生向心加速度，改變速度方向。

當切向加速度為0時，合外力全部用來提供向心力，F■=F■。由a=■與a■=■可知，加速度的大小和向心加速度的大小相等。

在天體運動中，哪些情況下加速度的大小和向心加速度的大小相等呢？

第一種情況：衛星在圓軌道上做勻速圓周運動時，速度大小不變，切向加速度為0，萬有引力全部提供向心力，衛星的加速度大小等于向心加速度的大小。

第二種情況：衛星在橢圓軌道的近地點和遠地點，萬有引力方向與線速度垂直，切向加速度為0，萬有引力全部提供向心力，衛星的加速度的大小等于向心加速度的大小。注意，在橢圓軌道上其他位置處，速度大小變化，切向加速度不為0，萬有引力的一個分力提供向心力，衛星的加速度的大小和向心加速度的大小不相等。

二、通過兩道例題體會如何比較不同軌道上加速度的大小或者向心加速度的大小。

例題1：我國發射了一顆地球資源探測衛星，發射時先將衛星發射至距離地面50km的近地圓軌道1上，然后變軌到近地點距離地面50km、遠地點距離地面1500km的橢圓軌道2上，最后由軌道2進入半徑為7900km的圓軌道3。如下圖所示，軌道1、2相切于P點，軌道2、3相切于Q點。忽略空氣阻力和衛星質量的變化，以下說法正確的是（ ）

A.該衛星從軌道1變軌到軌道2需要在P處點火加速

B.該衛星在軌道2上穩定運行時，P點的速度小于Q點的速度

C.該衛星在軌道2上Q點的加速度大于在軌道3上Q點的加速度

D.該衛星在軌道3的機械能小于在軌道1的機械能

答案：A

例題2：北京時間2013年12月10日晚上九點二十分，在太空飛行了九天的“嫦娥三號”飛船，再次成功變軌，從100km的環月圓軌道Ⅰ，降低到近月點15km、遠月點100km的橢圓軌道Ⅱ，兩軌道相交于點P，如下圖所示。關于“嫦娥三號”飛船，以下說法不正確的是（ ）

A.在軌道Ⅰ上運動到P點的速度比在軌道Ⅱ上運動到P點的速度大

B.在軌道Ⅰ上P點的向心加速度比在軌道Ⅱ上運動到P點的向心加速度小

C.在軌道Ⅰ上的勢能與動能之和比在軌道Ⅱ上的勢能與動能之和大

D.在軌道Ⅰ上運動的周期大于在軌道Ⅱ上運動的周期

答案：B

其中，例題1中的C選項和例題2中的B選項，都是對于衛星在圓形軌道和橢圓形軌道切點處的考察；不同之處在于前者考察的是加速度，后者考察的是向心加速度。

對于例題1中的C選項，可以利用牛頓第二定律直接求解，即G■=ma。無論在哪個軌道上，都有Q點到地心的距離r相等，萬有引力的大小相等，合外力的大小相等，因此加速度的大小相等，C選項錯誤。

對于例題2中的B選項，因為在I軌道上經過P點的線速度大小大于在II軌道上經過P點的線速度大小，在I軌道上的半徑大于在Ⅱ軌道的曲率半徑，所以無法利用a■=■求解。由前面的討論可以得知，衛星在I軌道上做勻速圓周運動時，衛星的加速度大小等于向心加速度的大??；衛星在Ⅱ軌道經過P點時，衛星的加速度的大小等于向心加速度的大小。I軌道、Ⅱ軌道經過P點時加速度的大小相等，因此向心加速度的大小也相等，B選項錯誤。